Promień tego okręgu jest równy [tex]\frac{3}{2}[/tex].
Rysunek pomocniczy znajduje się w załączniku.
Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w romb?
Kluczową rzeczą w tym zadaniu, jest zauważenie, że wysokość rombu (h) to tak naprawdę dwa promienie (r). Możemy więc zapisać zależność:
h = 2r
Aby obliczyć wysokość rombu, zauważmy na rysunku, że utworzył nam się trójkąt prostokątny o kątach: 90, 60 i 30 stopni. To bardzo charakterystyczny trójkąt, możemy dorysować jego "drugą połowę", tak jak zrobiliśmy to na rysunku. Po dorysowaniu drugiej części, otrzymujemy trójkąt równoboczny, gdzie wszystkie trzy boki są równej długości - 2√3. Połowa boku to naturalnie √3 (zobacz rysunek w załączniku). W tak utworzonym trójkącie możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć wysokość (h):
h² + (√3)² = (2√3)²
h² + 3 = 4 × 3
h² = 12 - 3
h² = 9
h = 3
Drugą drogą do otrzymania wysokości byłoby podstawienie danych do wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{2} = \frac{2\sqrt{3}*\sqrt{3} }{2}=\frac{2*3}{2}=3[/tex]
Wiedząc o zapisanej wcześniej zależności między promieniem a wysokością, wyznaczmy promień okręgu wpisanego:
h = 2r
3 = 2r
r = [tex]\frac{3}{2}=1\frac12[/tex]
