Właściciel lokalu kupił butelki z napojem o pojemności 2 i 1,5 litra, razem 25 litrów. Gdyby kupił 2 razy więcej butelek 1,5 litrowych i o 2 mniej butelki 2 litrowe posiadałby razem 36 litrów napoju. Oblicz, ile butelek każdego rodzaju kupił właściciel lokalu.

to ma być układ równań coś takiego.

Układem równań nazywamy połączenie co najmniej dwóch równań, które są rozpatrywane równocześnie, tzn. pomiędzy niewiadomymi zachodzi pewien związek, który tymi równaniami jest opisywany. Układ równań można rozwiązać na różne sposoby. Do najbardziej znanych należą:

metoda podstawiania, która polega na wyznaczeniu z któregoś równania jednej niewiadomej i podstawieniu jej do drugiego równania.

metoda przeciwnych współczynników, która polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji gdy przy tej samej niewiadomej w dwóch równaniach mamy przeciwne współczynniki.

Zastosujmy sobie te informacje do rozwiązania zadania.

Właściciel lokalu kupił butelki z napojem o pojemności 2 i 1,5 litra. Nie wiemy ile tych butelek kupił, zatem wprowadźmy sobie oznaczenia:

x - ilość butelek o pojemności 2 litrów

y - ilość butelek o pojemności 1,5 litra

Wiemy że razem kupił 25 litrów napoju, zatem możemy skonstruować równanie, w którym zapiszemy ile litrów właściciel lokalu kupił w zależności od pojemności butelki:

x * 2 + y * 1,5 = 25

Dalej w zadaniu mamy informację, że gdyby kupił 2 razy więcej butelek 1,5 litrowych i o 2 mniej butelki 2 litrowe posiadałby razem 36 litrów napoju. Możemy więc skonstruować inne równanie:

(x - 2) * 2 + 2 * y * 1,5 = 36

Generalnie układ równań jest rozwiązywalny, kiedy mamy co najmniej tyle równań ile niewiadomych. Równania mamy dwa - tyle samo co niewiadomych. Zatem zbudujmy układ równań:

[tex]\left \{ {{x*2+y*1,5=25} \atop {(x-2)*2+2*y*1,5=36}} \right.[/tex]

Musimy sobie ten układ maksymalnie uprościć korzystając ze znanych nam przekształceń arytmetycznych:

[tex]\left \{ {{x*2+y*1,5=25} \atop {(x-2)*2+2*y*1,5=36}} \right.\\\\\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {2x-4+3y=36}} \right.\\\\\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {2x+3y=36+4}} \right.\\\\\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {2x+3y=40}} \right.[/tex]

Łatwo zauważyć że współczynniki przy x są takie same, skorzystamy więc z metody przeciwnych współczynników. W tym celu wymnóżmy obustronnie drugie równanie przez -1. Otrzymamy:

[tex]\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {2x+3y=40/*(-1)}} \right.\\\\\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {-2x-3y=-40}} \right.[/tex]

Mamy przeciwne współczynniki przy niewiadomej x. Możemy więc dodać równania stronami, tzn. sprowadzamy oba równania do jednego, gdzie po lewej będzie suma lewych stron obu równań, a po prawej suma prawych stron. Zatem

[tex]\left \{ {{2x+1,5y=25} \atop {-2x-3y=-40}} \right.\\\\2x+1,5y+(-2x-3y)=25+(-40)\\\\2x+1,5y-2x-3y=-15\\\\-1,5y=-15/:(-1,5)\\\\y = 10[/tex]

Zatem obliczyliśmy, że właściciel kupił 10 butelek 1,5 litrowych. Żeby wyznaczyć liczbę butelek 2 litrowych wystarczy, że poznaną już wartość y podstawimy do dowolnego równania z układu równań. Podstawmy więc do pierwszego z nich:

[tex]2x+1,5y=25\\\\2x+1,5*10=25\\\\2x+15=25\\\\2x=25-15\\\\2x=10/:2\\\\x=5[/tex]

Udało nam się również wyznaczyć ile butelek 2 litrowych zakupił właściciel lokalu.

Na zakończenie najlepiej też jest podać dokładną odpowiedź, która w tym przypadku będzie brzmieć:

Właściciel lokalu kupił 5 butelek o pojemności 2 litry i 10 butelek o pojemności 1,5 l.