Rozkład prawdopodobieństwa dąży do rozkładu normalnego o parametrach:
[tex]\mu=E[X]=np\\\sigma=\sqrt{np(1-p)}[/tex]
gdzie n=1000 jest liczbą prób, zaś p=1/2 jest prawdopodobieństwem pojedynczego sukcesu.
[tex]\mu=1000\cdot1/2=500\\\sigma=\sqrt{1000\cdot1/4}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}[/tex]
[tex]P(490 < X < 510)=\int_{490}^{510}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\, dx}[/tex]
Wprowadzę jeszcze zmienną bezwymiarową:
[tex]\xi=\frac{x-\mu}{\sigma}\\P(490 < X < 510)=P(-\sqrt{\frac{2}{5}} < \xi < \sqrt{\frac{2}{5}})=\int_{-\sqrt{2/5}}^{\sqrt{2/5}}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\xi^2/2}\, d\xi}=\\=F(\sqrt{2/5})-F(-\sqrt{2/5})=F(\sqrt{2/5})-1+F(\sqrt{2/5})=2F(\sqrt{2/5})-1[/tex]
gdzie F(x) jest wartością dystrybuanty rozkładu N(0;1)
Odwołując się do odpowiednich tablic rozkładu znajdujemy:
[tex]F(\sqrt{2/5})\approx F(0.6325)\approx0.7365\\P(490 < X < 510)\approx2\cdot0.7365-1=0.473[/tex]
pozdrawiam
