Równanie z wartością bezwzględną.
Odp: x = -12
ROZWIĄZANIE:
Definicja wartości bezwzględnej:
[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]
Mamy równanie:
[tex]|3-x|-2|x-4|=2x+7[/tex]
Rozpisujemy wartości bezwzględne:
[tex]|3-x|=\left\{\begin{array}{ccc}3-x&\text{dla}&x\leq3\\x-3&\text{dla}&x > 3\end{array}\right\\\\|x-4|=\left\{\begin{array}{ccc}x-4&\text{dla}&x\geq4\\4-x&\text{dla}&x < 4\end{array}\right[/tex]
Stąd mamy przedziały:
[tex](1)\ \left(-\infty,\ 3\right > \to|3-x|=3-x,\ |x-4|=4-x \\\\(2)\ (3,\ 4)\to|3-x|=x-3,\ |x-4|=4-x\\\\(3)\ \left < 4,\ \infty)\to|3-x|=x-3,\ |x-4|=x-4[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex](1)\ x\in\left(-\infty,\ 4\right > \\\\(3-x)-2(4-x)=2x+7\\3-x-8+2x=2x+7\\x-5=2x+7\qquad|+5-2x\\-x=12\qquad|\cdot(-1)\\\huge\boxed{x=-12}\in\left(-\infty,\ 4\right >[/tex]
[tex](2)\ x\in(3,\ 4)\\\\(x-3)-2(4-x)=2x+7\\x-3-8+2x=2x+7\\3x-11=2x+7\qquad|+11-2x\\\boxed{x=-18}\notin(3,\ 4)[/tex]
[tex](3)\ x\in\left < 4,\ \infty\right)\\\\(3-x)-2(x-4)=2x+7\\3-x-2x+8=2x+7\\-3x+11=2x+7\qquad|-11-2x\\-5x=-4\qquad|:(-5)\\\boxed{x=0,8}\notin\left < 4,\ \infty\right)[/tex]
