Zadanie należy zacząć od znalezienia odciętej (x) wierzchołka.
Posłużymy się wzorem:
[tex]p=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
Jeżeli p znajduje się w zadanym przedziale, to
- jeżeli a > 0, to f(p) jest najmniejszą wartością funkcji w zadanym przedziale, a największa wartość jest dla argumentu z krańca przedziału bardziej oddalonego od p;
- jeżeli a < 0, to f(p) jest największą wartością funkcji w zadanym przedziale, a najmniejsza wartość jest dla argumentu z krańca przedziału bardziej oddalonego od p;
[tex]a)\ f(x)=3x^2-2x-1,\ \left < 0,\ 2\right >[/tex]
[tex]a=3,\ b=-2,\ c=-1[/tex]
Obliczamy wartość p:
[tex]p=\dfrac{-(-2)}{2\cdot3}=\dfrac{1}{3}\in\left < 0,\ 2\right >[/tex]
Jako, że a > 0, to w p mamy wartość najmniejszą, równą:
[tex]f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)-1=3\cdot\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}-1=\boxed{-1\dfrac{1}{3}}[/tex]
Kraniec przedziału 2 jest bardziej oddalone od p niż 0. Obliczamy wartość funkcji dla x = 2:
[tex]f(2)=3\cdot2^2-2\cdot2-1=3\cdot4-4-1=12-4-1=\boxed{7}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{y_{min}=-1\dfrac{1}{3}\ \text{dla}\ x=\dfrac{1}{3}}\\\boxed{y_{max}=7\ \text{dla}\ x=2}[/tex]
[tex]f(x)=-\dfrac{3}{4}x^2+4x-1,\ \left < -1,\ 2\right >[/tex]
[tex]a=-\dfrac{3}{4},\ b=4,\ c=1[/tex]
Obliczamy wartość p:
[tex]p=\dfrac{-4}{2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}=\dfrac{-4}{-\frac{3}{2}}=4\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}\notin\left < -1,\ 2\right >[/tex]
Zatem wartości najmniejsza i największa są w krańcach przedziałów.
Obliczamy wartości funkcji dla x = -1 i x = 2:
[tex]f(-1)=-\dfrac{3}{4}\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-1=-\dfrac{3}{4}\cdot1-4-1=\boxed{-5\dfrac{3}{4}}\\\\f(2)=-\dfrac{3}{4}\cdot2^2+4\cdot2-1=-\dfrac{3}{4}\cdot4+8-1=-3+8-1=\boxed{4}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{y_{min}=-5\dfrac{3}{4}\ \text{dla}\ x=-1}\\\boxed{y_{max}=4\ \text{dla}\ x=2}[/tex]
