Równanie kwadratowe z parametrem. Wzory Viete'a.
Odp:
[tex]\huge\boxed{m\in(-\infty,-4)\ \cup\ (0,\ 1)\ \cup\ (1,\ \infty)}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Mamy dane równanie:
[tex]x^2+x-\dfrac{m-1}{m+4}=0[/tex]
Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, z których każdy jest różny od 0.
Aby równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste różne od 0 muszą zachodzić warunki:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta > 0&(2)\\x_1\cdot x_2\neq0&(3)\end{array}\right[/tex]
(1)
[tex]a=1\neq0\\\\\huge\boxed{m\in\mathbb{R}-\{-4\}}[/tex]
(2)
[tex]a=1,\ b=1,\ c=-\dfrac{m-1}{m+4}\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=1^2-4\cdot1\cdot\left(-\dfrac{m-1}{m+4}\right)=1+\dfrac{4m-4}{m+4}=\dfrac{m+4}{m+4}+\dfrac{4m-4}{m+4}=\dfrac{5m}{m+4}\\\\\Delta > 0\Rightarrow\dfrac{5m}{m+4} > 0\iff5m(m+4) > 0\\\\_{m=0,\ m=-4}[/tex]
Kreślimy rysunek poglądowy i odczytujemy rozwiązanie:
[tex]\huge\boxed{m\in(-\infty,-4)\ \cup\ (0,\ \infty)}[/tex]
(3)
Zastosujemy wzór Vite'a:
[tex]x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{-\frac{m-1}{m+4}}{1}\neq0\\\\-\dfrac{m-1}{m+4}\neq0\iff m-1\neq0\qquad|+1\\\\m\neq1\\\\\huge\boxed{m\in\mathbb{R}-\{-4,\ 1\}}[/tex]
Z (1), (2) i (3) mamy:
[tex]\huge\boxed{m\in(-\infty,-4)\ \cup\ (0,\ 1)\ \cup\ (1,\ \infty)}[/tex]
