Założenie:
[tex]n\in\mathbb{Z}[/tex]
Teza:
[tex]\exists_{k\in\mathbb{Z}}(n\sqrt2 < k < n\sqrt5)[/tex]
Dowód:
[tex]n\sqrt{2} < k < n\sqrt{5}\qquad|()^2\\\\n^2(\sqrt{2})^2 < k^2 < n^2(\sqrt{5})^2\\\\2n^2 < k^2 < 5n^2\to k^2=4n^2\ \vee\ k^2=3n^2\\\\k=\sqrt{4n^2}\ \vee\ k=\sqrt{3n^2}\\\\k=2n\ \vee\ k=n\sqrt3[/tex]
[tex]n\in\mathbb{Z}\Rightarrow k=2n\in\mathbb{Z}\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]
Skorzystaliśmy z twierdzenia:
[tex](\sqrt{a})^2=a\qquad\text{dla}\ a\geq0[/tex]
Oczywiście z nierówności
[tex]n\sqrt2 < k < n\sqrt5\qquad\text{gdzie}\ n,k\in\mathbb{Z}[/tex]
wynika, że [tex]n>0[/tex].
