Założenie:
[tex]x^2+81y^2=45xy\ \wedge\ 9y < x < 0[/tex]
Teza:
[tex]\dfrac{x-9y}{x+9y}=-\dfrac{\sqrt{21}}{7}[/tex]
Dowód:
1)
[tex]x^2+81y^2=45xy\qquad|-18xy\\\\x^2-18xy+9^2y^2=27xy\\\\x^2-2\cdot x\cdot9y+(9y)^2=27xy[/tex]
Po lewej stronie mamy rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia:
a² - b² = (a - b)²
stąd
[tex](x-9y)^2=27xy\Rightarrow x-9y=\pm\sqrt{27xy}[/tex]
Jako, że [tex]9y<x<0[/tex], to [tex]x-9y>0[/tex].
Stąd:
[tex]x-9y=\sqrt{27xy}\\\\x-9=\sqrt{9\cdot3xy}\\\\\boxed{x-9y=3\sqrt{3xy}}[/tex]
2)
[tex]x^2+81y^2=45xy\qquad|+18xy\\\\x^2+18xy+9^2y^2=63xy\\\\x^2+2\cdot x\cdot9y=(9y)^2=63xy[/tex]
Po lewej stronie mamy rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia:
a² + b² = (a + b)²
stąd
[tex](x+9y)^2=63xy\Rightarrow x+9y=\sqrt{63xy}[/tex]
Jako, że [tex]9y<x<0[/tex], to [tex]x+9y<0[/tex].
Stąd:
[tex]x+9y=-\sqrt{63xy}\\\\x+9y=-\sqrt{9\cdot7xy}\\\\\boxed{x+9y=-3\sqrt{7xy}}[/tex]
Obliczamy szukany iloraz podstawiając z 1) i 2):
[tex]\dfrac{x-9y}{x+9y}=\dfrac{3\sqrt{3xy}}{-3\sqrt{7xy}}=-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\cdot\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}=-\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\cdot\dfrac{\sqrt7}{\sqrt7}=-\dfrac{\sqrt{21}}{7}\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]
