Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
(x² - 25)/(x² + 4x - 5)
W dziedzinie funkcji musimy wykluczyć wartość 0 z mianownika, ponieważ , jak wiemy, przez zero nie dzielimy - a kreska ułamkowa zstępuje znak dzielenia.
Przyrównujemy wyrażenie z mianownika do 0 i wyznaczamy miejsca zerowe i postać iloczynową wyrażenia (paraboli) : (x² + 4x - 5) = 0
Δ = 16 + 20 = 36, √∆ = 6, x1 = (- 4 - 6)/2 = - 5, x2 = (- 4 + 6)/2 = 1
Postać iloczynowa a(x - x1)(x - x2) = 0,
to (x² + 4x - 5) = (x - 1)(x + 5) = 0
to: Dziedzina: Df: x ∈ R \ {-1, 5}
to (x² - 25)/(x² + 4x - 5) = (x² - 25)/(x - 1)(x + 5)
Dla przedstawiania wyrażenia w jak najprostszej postaci (uproszczenia
ułamka) licznik ułamka przedstawimy również w postaci iloczynowej.
Możemy to zrobić na dwa sposoby:
Rozwiązując równanie:
1) x² - 25 = 0 to x² = - 25 to x1 = - √25 = - 5 i x2 = + √25 = + 5
x² - 25 = (x - 5)(x + 5)
2) Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: a² – b² = (a – b)∙(a + b)
x² - 25 = (x – 5)∙(x +5)
Zapiszemy w jak najprostszej postaci po skróceniu ułamka:
(x² - 25)/(x² + 4x - 5) = (x – 5)∙(x +5)/(x - 1)(x + 5) = (x – 5)/(x – 1)
Drugi przykład
(3x² + 3x)/(x² - 1)
Działania są podobne: x² - 1 = 0 to x² = 1 to x1 = -1 i x2 = 1
to (x² - 1) = (x - 1)(x + 1)
to: Dziedzina: Df: Df: x ∈ R \ {-1, 1}
Dla przedstawiania wyrażenia w jak najprostszej postaci, z mianownika
wystarczy wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias:
(3x² + 3x)/(x² - 1) = 3x(x + 1)/(x - 1)(x + 1) = 3x/(x - 1)
