Najpierw porządkujemy dane równanie:
[tex]\bold{(m-5)x^3=x(2x-m+4)}\\\\\bold{(m-5)x^3-x(2x-m+4)=0}\\\\\bold{x\,\big[(m-5)x^2-(2x-m+4)\big]=0}\\\\\bold{x\,\big[(m-5)x^2-2x+m-4\big]=0}[/tex]
Zatem jednym z rozwiązań danego równania jest x=0, a pozostałe dwa rozwiązania są rozwiązaniami równania kwadratowego: [tex]\bold{(m-5)x^2-2x+m-4=0}[/tex]
Aby dane równanie miało trzy różne rozwiązania, równanie kwadratowe musi mieć dwa różne rozwiązania i oba te rozwiązania muszą być różne od 0, zatem muszą być spełnione następujące warunki:
- Równanie musi być równaniem kwadratowym, czyli: [tex]\bold{ a\ne 0}[/tex]
- Wyróżnik równania musi być dodatni: [tex]\bold{\Delta > 0\ \, \implies\ \, b^2-4ac > 0}[/tex]
- Rozwiązania muszą być różne od 0: [tex]\bold{x_1\ne0\ \wedge\ x_2\ne0}[/tex]
Skoro oba mają być różne od zera, to zarówno ich suma, jak i różnica muszą być różne od zera: [tex]\bold{x_1+x_2\ne0\quad\wedge\quad x_1x_2\ne0}[/tex]
{Suma byłaby również =0, gdyby rozwiązania były liczbami przeciwnymi, ale liczbami przeciwnymi mogłyby być rozwiązania równania postaci ax²+c=0, a tu mamy b≠0, więc nie jest to możliwe}
Zatem korzystając z wzorów Viete'a [tex]\bold{\big(x_1+x_2=\frac{-b}a\,,\quad x_1x_2=\frac ca\big)}[/tex], ostatecznie otrzymujemy warunki:
[tex]\begin{cases}\bold{a\ne0}\\\bold{b^2-4ac > 0}\\\bold{\frac{-b}a\ne0}\\\bold{\frac{c}a\ne0}\end{cases}[/tex]
[tex]\bold{(m-5)x^2-2x+m-4=0\quad\implies\quad a=m-5,\ \ b=-2,\ \ c=m-4}[/tex]
[tex]\bold{\Delta=(-2)^2-4(m-5)(m-4)=4-4(m^2-4m-5m+20)=}\\\\{}\quad\bold{=-4(-1+m^2-9m+20)=-4(m^2-9m+19)}[/tex]
Czyli:
[tex]\begin{cases}\bold{m-5\ne0}\\\bold{-4(m^2-9m+19) > 0}\\\bold{\frac2{m-5}\ne0}\\\bold{\frac{m-4}{m-5}\ne0}\end{cases}[/tex]
Pierwszy warunek: [tex]\bold{m-5\ne0\quad\iff\quad m\ne5}[/tex]
Trzeci warunek: [tex]\bold{\frac2{m-5}\ne0\quad \iff\quad m\in\mathbb R\setminus\{5\}}[/tex]
Czwarty warunek: [tex]\bold{\frac{m-4}{m-5}\ne0\ \iff\ m-4\ne0\ \iff\ m\ne4}[/tex]
Został nam drugi warunek:
[tex]\bold{-4(m^2-9m+19) > 0\qquad/:(-4)}\\\\\bold{m^2-9m+19 < 0}\\\\\bold{\Delta_m=(-9)^2-4\cdot1\cdot19=81-76=5\ \ \quad\implies\quad\sqrt\Delta_m=\sqrt5}\\\\\bold{m_1=\frac{-(-9)+\sqrt5}{2\cdot1}=\frac{9+\sqrt5}{2}\ ,\qquad m_2=\frac{9-\sqrt5}{2}}[/tex]
[tex]a_m > 0[/tex] , więc ramiona paraboli w górę
nierówność ostra (<), więc miejsca zerowe nie należą do rozwiązania
trójmian < 0, więc rozwiązaniem jest to co poniżej osi
[tex]\bold{m\in\left(\frac{9+\sqrt5}{2}\,,\ \ \frac{9-\sqrt5}{2}\right)}[/tex]
Wszystkie warunki muszą być spełnione jednocześnie, zatem:
[tex]\underline{\bold{\bold{m\in\left(\frac{9-\sqrt5}{2}\,,\ 4\right)\cup\big(4\,,\ 5\big)\cup\left(5\,,\ \frac{9+\sqrt5}{2}\right)}}}[/tex]
2.1
min = 4
max = 5
{Końce przedziałów nie należą do tych przedziałów.}
2.2
a = 9
b = 5
c = 2
