Równanie:
[tex]x^2+(m-4)x+m=0[/tex]
[tex]a=1\\b=m-4\\c=m[/tex]
Mniej niż 2 rozwiązania rzeczywiste:
[tex]\Delta\le0[/tex]
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
[tex](m-4)^2-4\cdot1\cdot m\le0\\m^2-8m+16-4m\le0\\m^2-12m+16\le0[/tex]
[tex]\Delta_m=(-12)^2-4\cdot1\cdot16\\\Delta_m=144-64\\\Delta_m=80\\\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{80}\\\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{16\cdot5}\\\sqrt{\Delta_m}=4\sqrt{5}[/tex]
[tex]m_1=\dfrac{-(-12)-4\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{12-4\sqrt{5}}{2}=6-2\sqrt{5}\\m_2=\dfrac{-(-12)+4\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{12+4\sqrt{5}}{2}=6+2\sqrt{5}[/tex]
[tex]m\in\langle6-\sqrt{5},6+\sqrt{5}\rangle[/tex]
Odpowiedź 3.1
3 liczby całkowite: [6] [-2] [5]
Odpowiedź 3.2
3 liczby całkowite: [6] [2] [5]
Suma trzecich potęg dwóch różnych pierwiastków tego równania jest równa 64:
Delta jest ta sama, to nie będę drugi raz tego samego wypisywał. Tylko wyniki.
[tex]\Delta > 0[/tex]
[tex]m^2-12m+16 > 0[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta_m}=4\sqrt{5}[/tex]
[tex]m_1=6-2\sqrt{5}\\m_2=6+2\sqrt{5}[/tex]
[tex]m\in(-\infty6-\sqrt{5})\cup(6+\sqrt{5},\infty)[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{-(m-4)-\sqrt{m^2-12m+16}}{2\cdot1}=\dfrac{-m+4-\sqrt{m^2-12m+16}}{2}\\x_2=\dfrac{-(m-4)+\sqrt{m^2-12m+16}}{2\cdot1}=\dfrac{-m+4+\sqrt{m^2-12m+16}}{2}[/tex]
Suma trzecich potęg:
[tex]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)[/tex]
Wzory Viete'a:
[tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}[/tex]
[tex]x_1x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
Suma drugich potęg:
[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\\=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]x_1^3+x_2^3=64\\(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=64\\(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)=64\\-\dfrac{b}{a}\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}-\dfrac{c}{a}\right)=64\\-\dfrac{b}{a}\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{3c}{a}\right)=64[/tex]
[tex]-\dfrac{m-4}{1}\left(\dfrac{(m-4)^2}{1^2}-\dfrac{3m}{1}\right)=64\\-(m-4)(m^2-8m+16-3m)=64\\(-m+4)(m^2-11m+16)=64\\-m^3+11m^2-16m+4m^2-44m+64-64=0\\-m^3+15m^2-60m=0\\-m(m^2-15m+60)=0[/tex]
[tex]-m=0\quad|:(-1)\\m=0[/tex]
[tex]m^2-15m+60=0\\\Delta_{m_2}=(-15)^2-4\cdot1\cdot60\\\Delta_{m_2}=225-240\\\Delta_{m_2}=-15[/tex]
Odpowiedź 3.3:
0
