Zad.13. W trójkącie równobocznym zmniejszono o 20% długość każdego boku, a w kwadracie zmniejszono długość obu przekątnych, też o 20%. Ile razy zmniejszyło się pole tych wielokątów? Odpowiedź uzasadnij.
Zad.14. Krótsza przekątna dzieli trapez prostokątny na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Wysokość trapezu wynosi 1,5√3 cm. Wykaż, że pole tego trapezu jest równe [tex]\dfrac{6,75\sqrt3}{2}cm^2[/tex].
Zad.13.
Pole trójkąta równobocznego o boku [tex]a[/tex]:
[tex]P_\Delta=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Pole kwadratu o przekątnej [tex]d[/tex]:
[tex]P_\square=\dfrac{d^2}{2}[/tex]
Kwadrat jest rombem. Wzór na pole rombu o danych przekątnych.
Boki trójkąta i przekątne kwadratu zostały zmniejszone o 20%, czyli nowe długości stanowią 100% - 20% = 80% pierwotnych długości.
80% = 0,8
Oznaczmy boki trójkąta i kwadratu przez [tex]a[/tex].
Wówczas:
Pole wyjściowego trójkąta:
[tex]P_1=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Pole nowego trójkąta:
[tex]P_2=\dfrac{(0,8a)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{0,64a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Obliczamy ile razu zmniejszyło się pole:
[tex]\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac{0,64a^2\sqrt3}{4}}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{4}{0,64a^2\sqrt3}=\dfrac{1}{0,64}=\dfrac{1}{\frac{64}{100}}=\dfrac{100}{64}=\boxed{\dfrac{25}{16}}[/tex]
Zad.14.
Kreślimy rysunek poglądowy.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku [tex]a[/tex]:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Wysokość mamy daną. Stąd możemy obliczyć długość boku trójkąta:
[tex]\dfrac{a\sqrt3}{2}=1,5\sqrt3\qquad|\cdot2\\\\a\sqrt3=3\sqrt3\qquad|:\sqrt3\\\\\boxed{a=3(cm)}[/tex]
Pole trapezu:
[tex]P=\dfrac{a+b}{2}\cdot h[/tex]
[tex]a,\ b[/tex] - podstawy trapezu
[tex]h[/tex] - wysokość trapezu
Podstawiamy odpowiednie długości i obliczamy pole:
[tex]P=\dfrac{3+1,5}{2}\cdot1,5\sqrt3=\dfrac{4,5\cdot1,5\sqrt3}{2}\\\\\huge\boxed{P=\dfrac{6,75\sqrt3}{2}cm^2}\qquad\blacksquare[/tex]
===================================================
Aby zamienić procent na liczbę należy liczbę procentów podzielić przez 100:
[tex]p\%=\dfrac{p}{100}[/tex]
stąd
[tex]80\%=\dfrac{80}{100}=\dfrac{8}{10}=0,8[/tex]
Aby obliczyć procent danej liczby należy zamienić procent na liczbę i pomnożyć daną liczbę.
Stąd:
[tex]80\%\ \text{z}\ a\ \text{to}\ 0,8a[/tex]
