Odpowiedź :
Dla ciągu [tex](b_n)[/tex] o wzorze [tex]b_n=2^{a_n}[/tex] (taki wzór powinien być w treści zadania) iloraz [tex]b_1*b_2*b_3*b_4*b_5[/tex] jest równy [tex]2^{20}[/tex].
Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg, w którym każdy następny wyraz jest sumą wyrazu poprzedniego i różnicy ciągu. Najczęściej oznaczamy go małymi literami alfabetu, np. [tex](a_n), (b_n)[/tex] itd. Liczba n jest numerem wyrazu ciągu i zakładamy, że [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] (zakładamy, że [tex]0\notin\mathbb{N}[/tex]). Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wygląda następująco:
[tex]a_n=a_1+(n-1)r[/tex],
gdzie:
- [tex]a_n[/tex] - n-ty wyraz ciągu,
- [tex]a_1[/tex] - pierwszy wyraz ciągu,
- [tex]r[/tex] - różnica ciągu.
Ciąg arytmetyczny może być rosnący, gdy r>0; malejący, gdy r<0; stały dla r=0.
Działania na potęgach
W zadaniu przyda nam się wzór na mnożenie potęg o tych samych podstawach:
[tex]a^m*a^n=a^{m+n}[/tex].
Wiemy, że ciąg [tex](a_n)[/tex], [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], jest ciągiem arytmetycznym oraz, że [tex]a_3=4[/tex].
Dany jest również ciąg [tex](b_n)[/tex] o wzorze [tex]b_n=2^{a_n}[/tex]. Poszukamy wartości wyrażenia: [tex]b_1*b_2*b_3*b_4*b_5[/tex].
Wyrazy ciągu [tex](b_n)[/tex] mają postać: [tex]b_1=2^{a_1},b_2=2^{b_2},b_3=2^{a_3},b_4=2^{a_4},b_5=2^{a_5}[/tex]. Znajdziemy wyrazy ciągu [tex](a_n)[/tex] od 1 do 5.
Wyraz [tex]a_3[/tex] możemy zapisać jako: [tex]a_3=a_1+2r=4[/tex]. Z drugiej równości możemy wyznaczyć pierwszy wyraz. Mamy: [tex]a_1=4-2r[/tex]. I dalej:
[tex]a_2=a_1+r=4-2r+r=4-r\\a_3=4\\a_4=a_1+3r=4-2r+3r=4+r\\a_5=a_1+4r=4-2r+4r=4+2r[/tex]
Możemy teraz wyliczyć szukaną wartość iloczynu:
[tex]b_1*b_2*b_3*b_4*b_5=2^{a_1}*2^{a_2}*2^{a_3}*2^{a_4}*2^{a_5}=2^{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}=2^{4-2r+4-r+4+4+r+4+2r}=2^{20}[/tex]