Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb,których suma odległości od liczby -4 i od liczby 3 jest równa 12.

Moduł liczby zwraca wartość danej liczby rzeczywistej, nie uwzględniając jej znaku. Zatem moduł liczby dodatniej jest równy tej samej liczbie, a moduł liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną.

Moduł liczby zapisujemy za pomocą pionowych kresek, czyli dla dowolnej liczby x mamy [tex]|x|[/tex]. Wartość modułu określamy następująco:

[tex]|x|=\left \{ {{x \quad \text{dla} \quad x \ge 0} \atop {-x \quad \text{dla} \quad x < 0}} \right.[/tex]

Pod znakiem modułu mogą znajdować się różne działania. W ten sposób możemy zapisać np. odległość liczby x od innej liczby na osi liczbowej, czyli zapis [tex]|x-5|[/tex] oznacza odległość liczby x od liczby 5. Jeśli dodatkowo będziemy mieli podane, ile ta odległość wynosi, np. 10, możemy ułożyć równanie [tex]|x-5|=10[/tex], po rozwiązaniu którego dostaniemy wartość x.

W rozwiązaniu zadania skorzystamy z własności wartości bezwzględnej - dla [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex] takich, że [tex]a < b[/tex], czyli [tex]a-b < 0[/tex], mamy:

[tex]|a-b|=b-a[/tex].

Szukamy liczb, których suma odległości od liczby -4 i od liczby 3 wynosi 12. Niech szukane liczby to niewiadome x. Odległość liczby x od -4 zapiszemy w postaci: [tex]|x-(-4)|=|x+4|[/tex], a odległość liczby x od 3 jako: [tex]|x-3|[/tex]. Możemy zapisać równanie, ponieważ mamy podane, ile wynosi suma tych odległości:

[tex]|x+4|+|x-3|=12[/tex].

Aby rozwiązać równanie z dwoma modułami, podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały i określimy znak wyrażeń pod wartością bezwzględną na powstałych przedziałach. Punkty podziału wyznaczą takie wartości x, dla których wyrażenia pod modułami będą równe 0. Mamy więc:

[tex]x+4=0/-4\\x=-4[/tex]

i

[tex]x-3=0/+3\\x=3[/tex]

Dostajemy przedziały [tex](-\infty,-4],(-4,3],(3,+\infty)[/tex] i na każdym z nich oddzielnie rozwiążemy powyższe równanie, zapisując odpowiednią postać wyrażenia spod modułu po opuszczeniu modułu.

[tex]x\in(-\infty,-4][/tex]
Mamy tutaj: [tex]x+4 < 0= > |x+4|=-x-4[/tex] oraz [tex]x-3 < 0= > |x-3|=-x+3[/tex]. Dostajemy równanie:

[tex]-x-4-x+3=12\\-2x-1=12/+1\\-2x=13/:(-2)\\x=-\frac{13}2=-6\frac12\in(-\infty,-4][/tex]

x należy do rozpatrywanego przedziału, więc jest jednym z rozwiązań równania.
[tex]x\in(-4,3][/tex]
Mamy tutaj: [tex]x+4 > 0= > |x+4|=x+4[/tex] oraz [tex]x-3 < 0= > |x-3|=-x+3[/tex]. Dostajemy równanie:

[tex]x+4-x+3=12\\7=12[/tex]

Ostatnia równość jest sprzeczna. Na tym przedziale równanie nie ma rozwiązań.
[tex]x\in(3,+\infty)[/tex]
Mamy tutaj: [tex]x+4 > 0= > |x+4|=x+4[/tex] oraz [tex]x-3 > 0= > |x-3|=x-3[/tex]. Dostajemy równanie:

[tex]x+4+x-3=12\\2x+1=12/-1\\2x=11/:2\\x=\frac{11}2=5\frac12\in(4,+\infty)[/tex]

x należy do rozpatrywanego przedziału, więc jest jednym z rozwiązań równania.

Sumując rozwiązania, które dostaliśmy, otrzymujemy dwuelementowy zbiór liczb spełniających warunek podany w treści zadania: [tex]x\in\{-6\frac12,5\frac12\}[/tex].

Zbiór rozwiązań zaznaczony na osi w załączniku.