Skoro w prostopadłościanie ABDCEFHG mamy |AB| = 4 i |AC| = 8 to podstawami tego prostopadłościanu są prostokąty ABDC i EFHG o bokach długości 4 i 8.
Trójkąt ABE to trójkąt prostokątny o bokach:
- |AB| = 4
- |AE| - przekątna ściany bocznej o bokach |AC| = 8 i |AG| = h
- |BE| - przekątna graniastosłupa
Zatem, pole trójkąta ABE to:
[tex]\bold{P_{_{ABE}}=\frac12|AB||AE|}\\\\\bold{P_{_{ABE}}=\frac12\cdot4\cdot|AE|}\\\\ \bold{P_{_{ABE}}=2\,|AE|}[/tex]
Trójkąt GDF to trójkąt prostokątny o bokach:
- |DF| = h
- |FG| - przekątna podstawy
- |DG| - przekątna graniastosłupa
Długość przekątnej podstawy graniastosłupa to z tw. Pitagorasa:
[tex]\bold{|FG|^2=4^2+8^2}\\\\\bold{|FG|^2=16+64}\\\\\bold{|FG|^2=80}\\\\\bold{|FG|=\sqrt{16\cdot5}}\\\\\bold{|FG|=4\sqrt{5}}[/tex]
Zatem, pole trójkąta GDF to:
[tex]\bold{P_{_{GDF}}=\frac12|FG||DF|}\\\\\bold{P_{_{GDF}}=\frac12\cdot4\sqrt5\cdot|DF|} \\\\ \bold{P_{_{GDF}}=2\sqrt5\,|DF|}[/tex]
Pole trójkąta ABE jest dwa razy mniejsze od pola trójkąta GDF, czyli:
[tex]\bold{P_{_{GDF}}=2P_{_{ABE}}}\\\\ \bold{2\sqrt5\,|DF|=2\cdot2|AE|\qquad/:4}\\\\ \bold{|AE|=\frac{\sqrt5}2\,|DF|}[/tex]
A ponieważ |DF| = |AG| = h oraz |GE| = |AC| = 8, to z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AGE możemy obliczyć wysokość prostopadłościanu:
[tex]\bold{|AG|^2+|GE|^2=|AE|^2}\\\\\bold{h^2+8^2=(\frac{\sqrt5}2\,h)^2}\\\\ \bold{h^2+64=\frac54\,h^2} \\\\\bold{\frac14h^2=64\qquad/\cdot4}\\\\\bold{h^2=256}\\\\\bold{h=16}[/tex]
Czyli:
Objętość prostopadłościanu:
[tex]\huge\boxed{\bold{\big V=4\cdot8\cdot16=512\ [j^3]}}[/tex]
