Podobieństwo trójkątów.
9) Oblicz długość odcinka CD trójkąta ABC przedstawionego na rysunku.
Odp: |AD| = 12
10) Wyznacz skalę podobieństwa trójkąta ADC do trójkąta ABC.
Odp: k = 4/5
ROZWIĄZANIA:
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha Bok-Bok-Bok (BBB): jeżeli boki jednego trójkąta tworzą proporcje z odpowiednimi bokami drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
- Cecha Kąt-Kąt-Kąt (KKK): jeżeli kąty jednego trójkąta są tej samej miary co kąty drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
(UWAGA: wystarczą dwa kąty) - Cecha Bok-Kąt-Bok (BKB): jeżeli dwa boki jednego trójkąta tworzą proporcję z bokami drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami są tej samej miary, to takie trójkąty są podobne.
Skalą k podobieństwa nazywamy stosunek odpowiadających sobie boków.
9)
Zakładamy, że odcinki AB i DE są równoległe. Wówczas trójkąty ABC i DEC są podobne (KKK). Zatem stosunek długości odpowiadających sobie boków jest stały.
Odpowiadające sobie boki, które będą tworzyć proporcję:
AB → DE i AC → DC
Proporcja:
[tex]\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{|AC|}{|DC|}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]|AB|=8,\ |DE|=6,\ |AC|=4+a,\ |DC|=a\\\\\dfrac{8}{6}=\dfrac{4+a}{a}[/tex]
Mnożymy na krzyż:
[tex]8a=6(4+a)\\\\8a=24+6a\qquad|-6a\\\\2a=24\qquad|:2\\\\\huge\boxed{a=12\to|CD|=12}[/tex]
10)
Trójkąty ACD i ABC są podobne (KKK).
Bok CD w trójkącie ADC odpowiada bokowi AC w trójkącie ABC ponieważ leżą naprzeciw kąta α. Stąd skala podobieństwa ΔADC do ΔABC wynosi:
[tex]k=\dfrac{|CD|}{|AC|}\\\\\huge\boxed{k=\dfrac{4}{5}}[/tex]
