Podobieństwo trójkątów.
7) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8cm. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku 1 : 3. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Odp: 4, 4√3
8) Oblicz długość odcinka x przedstawionego na rysunku.
Odp: x = 6
ROZWIĄZANIA:
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha Bok-Bok-Bok (BBB): jeżeli boki jednego trójkąta tworzą proporcje z odpowiednimi bokami drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
- Cecha Kąt-Kąt-Kąt (KKK): jeżeli kąty jednego trójkąta są tej samej miary co kąty drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
(UWAGA: wystarczą dwa kąty) - Cecha Bok-Kąt-Bok (BKB): jeżeli dwa boki jednego trójkąta tworzą proporcję z bokami drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami są tej samej miary, to takie trójkąty są podobne.
Skalą k podobieństwa nazywamy stosunek odpowiadających sobie boków.
7)
Wprowadzamy oznaczenia na rysunku. Widzimy, że trójkąty ABC, ADC i ABD są podobne (KKK). W związku z tym odpowiadające sobie boki tworzą proporcję.
Wiemy, że punkt D dzieli przeciwprostokątną długości 8cm w stosunku
1 : 3. Obliczmy długości odcinków x i y:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=8\\\\\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x+y=8&(1)\\y=3x&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (2) do (1):
[tex]x+3x=8\\4x=8\qquad|:4\\\boxed{x=2}[/tex]
Podstawiamy wartość do (2):
[tex]y=3\cdot2\\\boxed{y=6}[/tex]
Rozpatrujemy trójkąty ABC i ADC.
Odpowiadające sobie boki to:
[tex]AB\to AD,\ BC\to AC,\ AC\to CD[/tex]
Otrzymujemy proporcję:
[tex]\dfrac{|BC|}{|AC|}=\dfrac{|AC|}{|CD|}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]|BC|=8,\ |AC|=a,\ |CD|=2\\\\\dfrac{8}{a}=\dfrac{a}{2}[/tex]
Mnożymy na krzyż:
[tex]a^2=2\cdot8\\\\a^2=16\to a=\sqrt{16}\\\\\huge\boxed{a=4}[/tex]
Drugą przyprostokątną możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, lub z podobieństwa trójkątów ABC i ABD.
Wybieramy drugą metodę.
Rozpatrujemy trójkąty ABC i ABD:
Odpowiadające odcinki, to:
[tex]AB\to BD,\ BC\to AB,\ AC\to AD[/tex]
Układamy proporcję:
[tex]\dfrac{|AB|}{|BD|}=\dfrac{|BC|}{|AB|}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]|AB|=b,\ |BD|=6,\ |BC|=8\\\\\dfrac{b}{6}=\dfrac{8}{b}[/tex]
Mnożymy na krzyż:
[tex]b^2=6\cdot8\\\\b^2=48\to b=\sqrt{48}\\\\b=\sqrt{16\cdot3}\\\\b=\sqrt{16}\cdot\sqrt3\\\\\huge\boxed{b=4\sqrt3}[/tex]
8)
Zakładając, że odpowiadające sobie odcinki są równoległe, to trójkąty na rysunku są podobne (KKK).
W związku z tym odpowiadające sobie boki tworzą proporcję:
[tex]\dfrac{x}{12}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{4}\\\\\dfrac{x}{12}=\dfrac{1}{2}\\\\2x=1\cdot12\\\\2x=12\qquad|:2\\\\\huge\boxed{x=6}[/tex]
