Odpowiedź:
1) r = 0,5 cm
2) P = 9√3/4 cm²
3) r = 2 cm
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka.
Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (jest także środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny).
Zad. 1)
a = √3 cm - długość boku trójkata równobocznego
r = ? - długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny
[tex]r = \frac{1}{3}h\\\\h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\r = \frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\\underline{r = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\\\\r = \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} =\frac{3}{6}\\\\\boxed{r = 0,5 \ cm}[/tex]- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
Zad. 2)
R = √3 cm - długość promienia opisanego na tym trójkącie
P = ?
[tex]R = \frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \ \ \ |\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3R}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}R\\\\a = \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3 \ cm\\\\\\P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} =\frac{3^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\\boxed{P = \frac{9\sqrt{3}}{4} \ cm^{2}}[/tex]
Zad.3)
Twierdzenie: Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c jest równy
[tex]r = \frac{a+b-c}{2}[/tex]
[tex]a = 5 \ cm\\b = 12 \ cm\\c = ?\\r = ?[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej c:
[tex]a^{2}+b^{2} = c^{2}\\\\5^{2} + 12^{2} = c^{2}\\\\25 + 144 = c^{2}\\\\c^{2} = 169\\\\c = \sqrt{169}\\\\\underline{c = 13 \ cm}[/tex]
Znając już długość przeciwprostokątnej c podstawiamy do wzoru:
[tex]r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{5+12-13}{2} = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} \ cm\\\\\boxed{r = 2 \ cm}[/tex]
