Odpowiedź :
Logarytmy.
Oblicz logarytm:
[tex]\bold{Zad.1}\\a)\ \log_264=6\\\\b)\ \log_2512=9\\\\c)\ \log_20,25=-2\\\\d)\ \log_2\dfrac{1}{1024}=-10\\\\e)\ \log_20,125=-3\\\\f)\ \log_42=\dfrac{1}{2}\\\\g)\ \log_48=\dfrac{3}{2}\\\\h)\ \log_4\dfrac{1}{1024}=-5\\\\i)\ \log_4\dfrac{1}{\sqrt2}=-\dfrac{1}{4}\\\\j)\ \log_{\sqrt2}4=4\\\\k)\ \log_3\sqrt{32}=\dfrac{5}{2}\log_32\\\\l)\ \log_3\sqrt3=\dfrac{1}{2}\\\\m)\ \log_3\sqrt{27}=\dfrac{3}{2}\\\\n)\ \log_3\dfrac{1}{81}=-4\\\\o)\ \log_5625=4\\\\p)\ \log_50,04=-2[/tex]
[tex]\bold{Zad.2}\\a)\ \log_{\frac{1}{3}}3=-1\\\\b)\ \log_{0,1}10^6=-6\\\\c)\ \log_{0,5}\dfrac{1}{128}=7\\\\d)\ \log_{0,25}16=-2\\\\e)\ \log_{0,2}125=-3\\\\f)\ \log_{\frac{1}{6}}\dfrac{1}{216}=3\\\\g)\ \log_{\frac{1}{3}}\sqrt3=-\dfrac{1}{2}\\\\h)\ \log_{\frac{1}{2}}2\sqrt2=-\dfrac{3}{2}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Definicja logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b\\\\a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
Wszystkie zadania rozwiążemy korzystając z definicji logarytmu.
[tex]\bold{Zad.1}\\a)\ \log_264=x\to2^x=64\\\\2^x=2^6\to\boxed{x=6}\\\\b)\ \log_2512=x\to2^x=512\\\\2^x=2^9\to\boxed{x=9}\\\\c)\ \log_20,25=x\to2^x=0,25\\\\2^x=\dfrac{1}{4}\\\\2^x=4^{-1}\\\\2^x=(2^2)^{-1}\\\\2^x=2^{-2}\to\boxed{x=-2}\\\\d)\ \log_2\dfrac{1}{1024}=x\to2^x=\dfrac{1}{1024}\\\\2^x=1024^{-1}\\\\2^x=(2^{10})^{-1}\\\\2^x=2^{-10}\to\boxed{x=-10}[/tex]
[tex]e)\ \log_20,125=x\to2^x=0,125\\\\2^x=\dfrac{1}{8}\\\\2^x=8^{-1}\\\\2^x=(2^3)^{-1}\\\\2^x=2^{-3}\to\boxed{x=-3}\\\\f)\ \log_42=x\to4^x=2\\\\(2^2)^x=2\\\\2^{2x}=2^1\to2x=1\qquad|:2\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\\\\g)\ \log_48=x\to4^x=8\\\\(2^2)^x=2^3\\\\2^{2x}=2^3\to2x=3\qquad|:2\\\\\boxed{x=\dfrac{3}{2}}\\\\h)\ \log_4\dfrac{1}{1024}=x\to4^x=\dfrac{1}{1024}\\\\4^x=1024^{-1}\\\\4^x=(4^5)^{-1}\\\\4^x=4^{-5}\to\boxed{x=-5}[/tex]
[tex]i)\ \log_4\dfrac{1}{\sqrt2}=x\to4^x=\dfrac{1}{\sqrt2}\\\\(2^2)^x=(\sqrt2)^{-1}\\\\2^{2x}=2^{-\frac{1}{2}}\to2x=-\dfrac{1}{2}\qquad|:2\\\\\boxed{x=-\dfrac{1}{4}}\\\\j)\ \log_{\sqrt2}4=x\to(\sqrt2)^x=4\\\\(2^{\frac{1}{2}})^x=2^2\\\\2^{\frac{1}{2}x}=2^2\to\dfrac{1}{2}x=2\qquad|\cdot2\\\\\boxed{x=4}[/tex]
W przykładzie k) jest jakaś rozbieżność, co do wszystkich przykładów.
Tu skorzystamy z twierdzenia:
[tex]\log_ab^n=n\log_ab\\\\a,b>0\ \wedge\ a\neq1\ \wedge\ n\in\mathbb{R}[/tex]
[tex]k)\ \log_3\sqrt{32}=\log_3\sqrt{2^5}=\log_3(2^5)^{\frac{1}{2}}=\log_32^{\frac{5}{2}}=\dfrac{5}{2}\log_32[/tex]
[tex]l)\ \log_3\sqrt3=x\to3^x=\sqrt3\\\\3^x=3^{\frac{1}{2}}\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\\\\m)\ \log_3\sqrt{27}=x\to3^x=\sqrt{27}\\\\3^x=27^{\frac{1}{2}}\\\\3^x=(3^3)^{\frac{1}{2}}\\\\3^x=3^{\frac{3}{2}}\to\boxed{x=\dfrac{3}{2}}\\\\n)\ \log_3\dfrac{1}{81}=x\to3^x=\dfrac{1}{81}\\\\3^x=81^{-1}\\\\3^x=(3^4)^{-1}\\\\3^x=3^{-4}\to\boxed{x=-4}\\\\o)\ \log_5625=x\to5^x=625\\\\5^x=5^4\to\boxed{x=4}\\\\p)\ \log_50,04=x\to5^x=0,04\\\\5^x=\dfrac{4}{100}\\\\5^x=\dfrac{1}{25}\\\\5^x=25^{-1}\\\\5^x=(5^2)^{-1}\\\\5^x=5^{-2}\to\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]\bold{Zad.2}\\a)\ \log_{\frac{1}{3}}3=x\to\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=3\\\\\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\to\boxed{x=-1}\\\\b)\ \log_{0,1}10^6=x\to0,1^x=10^6\\\\\left(\dfrac{1}{10}\right)^x=\left(\dfrac{1}{10}\right)^{-6}\to\boxed{x=-6}\\\\c)\ \log_{0,5}\dfrac{1}{128}=x\to0,5^x=\dfrac{1}{128}\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^7\to\boxed{x=7}\\\\d)\ \log_{0,25}16=x\to0,25^x=16\\\\\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-1}\\\\\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\to\boxed{x=-2}[/tex]
[tex]e)\ \log_{0,2}125=x\to0,2^x=125\\\\\left(\dfrac{1}{5}\right)^x=5^3\\\\\left(\dfrac{1}{5}\right)^x=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-3}\to\boxed{x=-3}\\\\f)\ \log_{\frac{1}{6}}\dfrac{1}{216}=x\to\left(\dfrac{1}{6}\right)^x=\dfrac{1}{216}\\\\\left(\dfrac{1}{6}\right)^x=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\to\boxed{x=3}\\\\g)\ \log_{\frac{1}{3}}\sqrt3=x\to\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=\sqrt3\\\\\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=3^{\frac{1}{2}}\\\\\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\to\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}\\\\h)\ \log_{\frac{1}{2}}2\sqrt2=x\to\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2\sqrt2\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2\cdot2^{\frac{1}{2}}\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2^{1+\frac{1}{2}}\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2^{\frac{3}{2}}\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\to\boxed{x=-\dfrac{3}{2}} [/tex]
W rozwiązaniu skorzystaliśmy również z różnowartościowości funkcji wykładniczej oraz z definicji:
[tex]a^n=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-1}\quad\text{dla}\ a\neq0\\\\\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\quad\text{dla}\ a\geq0[/tex]
oraz z twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]