Planimetria. Twierdzenie cosinusów.
Dany jest trójkąt. Oblicz cos∠BCA.
[tex]\huge\boxed{\cos\angle BCA=\dfrac{4}{5}}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Jak widać na rysunku mamy trójkąt prostokątny równoramienny.
Odcinki, które wychodzą z wierzchołków trójkąta są środkowymi.
Wnioskujemy stąd, że x = y.
Środkowe przecinają się w punkcie C.
Na podstawie twierdzenia, które mówi nam, że środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1 mamy odcinki a i b, które stanowią odpowiednio 2/3 i 1/3 długości środkowej.
Długość środkowej możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Podstawiamy:
[tex]a = x, b = 2x\\\\c^2 = x^2 + (2x)^2\\\\c^2=x^2+4x^2\\\\c^2=5x^2\to c=\sqrt{5x^2}\\\\\boxed{c=x\sqrt5}[/tex]
Stąd mamy:
[tex]a=\dfrac{2}{3}x\sqrt5,\ b=\dfrac{1}{3}x\sqrt5[/tex]
Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - kąt trójkąta leżący naprzeciwko boku [tex]a[/tex]
Podstawiamy:
[tex]x^2=\left(\dfrac{2x\sqrt5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{x\sqrt5}{3}\right)^2-2\cdot\dfrac{2x\sqrt5}{3}\cdot\dfrac{x\sqrt5}{3}\cos\alpha\\\\x^2=\dfrac{4x^2\cdot5}{9}+\dfrac{x^2\cdot5}{9}-\dfrac{4x^2\cdot5}{9}\cos\alpha\qquad|\cdot9\\\\9x^2=20x^2+5x^2-20x^2\cos\alpha\\\\9x^2=25x^2-20x^2\cos\alpha\qquad|-25x^2\\\\-16x^2=-20x^2\cos\alpha\qquad|:(-20)\\\\\cos\alpha=\dfrac{-16x^2}{-20x^2}\\\\\huge\boxed{\cos\alpha=\dfrac{4}{5}}[/tex]
