Odpowiedź :
Dla ułamka zwykłego [tex]\frac{m}{n}[/tex], gdzie [tex]m,n\in\mathbb{N}[/tex] oraz [tex]n\neq0[/tex], jeśli taki ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe, to długość okresu jest krótsza niż n.
Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego
Aby uzyskać rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego postaci [tex]\frac{a}{b}[/tex], należy wykonać dzielenie liczby w liczniku przez liczbę w mianowniku. Najczęściej przy szukaniu takiego rozwinięcia dziesiętnego obliczenia wykonujemy pisemnie.
Jeśli w trakcie takiego dzielenia zauważymy, że cyfry w liczniku zaczynają się układać w pewne grupy, które się powtarzają, to takie rozwinięcie nazywamy rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym okresowym, a pojedyncza grupa takich cyfr to okres.
Założenia: ułamek [tex]\frac{m}{n}[/tex], gdzie [tex]m,n\in\mathbb{N}[/tex] oraz [tex]n\neq0[/tex], ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Teza: długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym jest mniejsza od n.
Dowód: wykorzystamy w dowodzie fakt, że jeśli dzielimy pewną liczbę a przez liczbę b, to różnych reszt, które możemy uzyskać z takiego dzielenia jest mniej niż wartość liczby b.
Szukając rozwinięcia dziesiętnego ułamka [tex]\frac{m}{n}[/tex], wykonujemy dzielenie pisemne liczby m przez liczbę n. Wiemy, że rozwinięcie dziesiętne tego ułamka jest nieskończone okresowe, zatem na każdym etapie dzielenia dostajemy jakąś resztę. Korzystając z podanego wyżej faktu, wiemy, że tych reszt jest mniej niż n. Zatem w okresie rozwinięcia dziesiętnego również będziemy mieli mniej niż n różnych wyników, czyli różnych cyfr w okresie będzie mniej niż n. Co dowodzi, że długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym ułamka [tex]\frac{m}{n}[/tex] jest mniejsza niż n.