Odpowiedź :
Zapewne w tezie zadania chodziło o zestaw danych: [tex]\frac{x_1-a}s,\frac{x_2-a}s,\frac{x_3-a}s,...,\frac{x_n-a}s[/tex]. Dla takiego zestawu danych średnia arytmetyczna wynosi 0.
Średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe
Weźmy zestaw danych: [tex]x_1,x_2,x_3,...,x_{n-1},x_n[/tex].
Średnia arytmetyczna [tex]\overline{X}[/tex] zestawu danych to ich suma podzielona przez ich ilość. Liczymy ją ze wzoru:
[tex]\overline{X}=\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_{n-1}+x_n}n[/tex].
Odchylenie danych od średniej liczymy następująco:
[tex]x_1-\overline{X}\\x_2-\overline{X}\\x_3-\overline{X}\\...\\x_{n-1}-\overline{X}\\x_n-\overline{X}[/tex]
Wariancję zbioru danych liczymy ze wzoru:
[tex]\sigma^2=\frac{(x_1-\overline{X})^2+(x_2-\overline{X})^2+(x_3-\overline{X})^2+...+(x_{n-1}-\overline{X})^2+(x_n-\overline{X})^2}n[/tex].
Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. Mamy zatem:
[tex]\sqrt{\sigma^2}=\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\overline{X})^2+(x_2-\overline{X})^2+(x_3-\overline{X})^2+...+(x_{n-1}-\overline{X})^2+(x_n-\overline{X})^2}n}[/tex].
Założenia: wiemy, że średnia arytmetyczna zestawu danych [tex]x_1,_2,x_3,...,x_n[/tex] wynosi [tex]a[/tex], czyli [tex]\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}n=a[/tex]; wiemy także, że odchylenie standardowe wynosi [tex]s[/tex], czyli [tex]\sqrt{\frac{(x_1-a)^2+(x_2-a)^2+(x_3-a)^2+...+(x_n-a)^2}n}=s[/tex].
Teza: średnia arytmetyczna zestawu danych [tex]\frac{x_1-a}s,\frac{x_2-a}s,\frac{x_3-a}s,...,\frac{x_n-a}s[/tex] wynosi 0, czyli [tex]\frac{\frac{x_1-a}s+\frac{x_2-a}s+\frac{x_3-a}s+...+\frac{x_n-a}s}n=0[/tex].
Dowód: Przekształcimy średnią arytmetyczną z tezy, skorzystamy ze znanych z założeń równości i wykażemy, że średnia ta wynosi 0:
[tex]\frac{\frac{x_1-a}s+\frac{x_2-a}s+\frac{x_3-a}s+...+\frac{x_n-a}s}n=\frac{\frac{x_1}s-\frac{a}{s}+\frac{x_2}s-\frac{a}{s}+\frac{x_3}s-\frac{a}{s}+...+\frac{x_n}s-\frac{a}{s}}n=\frac{\frac{x_1}s+\frac{x_2}s+\frac{x_3}s+...+\frac{x_n}s-\frac{a}{s}-\frac{a}{s}-\frac{a}{s}-...-\frac{a}{s}}n=\frac{\frac{x_1}s+\frac{x_2}s+\frac{x_3}s+...+\frac{x_n}s-n*\frac{a}{s}}n=\frac{\frac{x_1}s+\frac{x_2}s+\frac{x_3}s+...+\frac{x_n}s}n-\frac{n*\frac{a}{s}}n=\frac{\frac1{s}*(x_1+x_2+x_3+...+x_n)}n-\frac{a}{s}=[/tex]
[tex]=\frac1{s}*\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}n-\frac{a}{s}=\frac1{s}*a-\frac{a}{s}=\frac{a}{s}-\frac{a}{s}=0[/tex]
Co należało dowieść.