Arytmetyka.
Jakie liczby trzycyfrowe mają tę własność, że po zakryciu środkowej cyfry wzrastają dziewięciokrotnie?
Odp: Szukane liczby, to: -135, -225, -315, -405
Niech a,b i c będą cyframi, gdzie a ≠ 0.
Wówczas liczbę trzycyfrową możemy zapisać w postaci:
[tex]100a+10b+c[/tex]
Liczba, która powstaje z tej liczby po zakryciu cyfry dziesiątek, ma postać:
[tex]10a+c[/tex]
Liczba dwucyfrowa ma być dziewięciokrotnie większa od trzycyfrowej. Tak może tylko być w liczbach ujemnych.
Zrobimy zadanie odwrotnie, że trzycyfrowa jest 9 razy większa od dwucyfrowej. Otrzymamy wyniki dodatnie, które w odpowiedzi zamienimy na ujemne.
Otrzymujemy równanie:
[tex]100a+10b+c=9(10a+c)[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex]100a+10b+c=90a+9c\\\\100a-90a+10b=9c-c\\\\10a+10b=8c\qquad|:2\\\\5a+5b=4c\\\\5(a+b)=4c[/tex]
Z tej postaci wnioskujemy, że cyfra c musi być podzielna przez 5,
a suma a + b musi być podzielna przez 4.
WNIOSEK:
c = 0 lub c = 5
0 nie może być, bo wówczas 4c = 0, a wówczas 5(a + b) = 0.
Czyli mamy c = 5.
Bierzemy kolejne cyfry i podstawiamy za a dopasowując b.
a = 1 → b = 3 lub b = 7
Sprawdzamy:
135 i 15 → 15 · 9 = 135 TAK
175 i 15 - NIE
a = 2 → b = 2 lub b = 6
Sprawdzamy:
225 i 25 → 25 · 9 = 225 TAK
265 i 25 - NIE
a = 3 → b = 1 lub b = 5
Sprawdzamy:
315 i 35 → 35 · 9 =315 TAK
355 i 35 - NIE
a = 4 → b = 0 lub b = 4 lub b = 8
Sprawdzamy:
405 i 45 → 45 · 9 = 405 TAK
445 i 45 - NIE
485 i 45 - NIE
a = 5 → b = 3 lub b = 7
Sprawdzamy:
535 i 55 → 55 · 9 = 495 - NIE
575 i 55 - NIE
Pozostałych nie ma co sprawdzać, ponieważ już w tym momencie otrzymujemy dziewięciokrotności mniejsze od liczby.
