Trygonometria.
Sprawdź, czy istnieje kąt wypukły a spełniający podany warunek.
a) 3cosα + 2√2 = 0 TAK
b) 5sinα = √3 - 2 NIE
c) sinα + cosα = 2 NIE
d) sinα · cosα = √3 NIE
e) sinα · cosα = 0 TAK
f) tgα · cosα = -1/2 NIE
Dlaczego takie odpowiedzi?
Wiemy, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami, które przyjmują wartości z przedziału ⟨-1, 1⟩.
Wiemy, że jeżeli kąt jest wypukły, to jego końcowe ramię w układzie współrzędnych znajduje się w pierwszej lub drugiej ćwiartce.
W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje przyjmują wartości dodatnie. W drugiej tylko sinus jest dodatni, a pozostałe funkcje przyjmują wartości ujemne.
a)
[tex]3\cos\alpha+2\sqrt2=0\qquad|-2\sqrt2\\\\3\cos\alpha=-2\sqrt2\qquad|:3\\\\\cos\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}{3}\in\left < -1,\ 1\right >[/tex]
Czyli taki kąt istnieje i jest to kąt rozwarty, ponieważ cosα < 0.
b)
[tex]5\sin\alpha=\sqrt3-2\qquad|:5\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3-2}{5}\in\left < -1,\ 1\right >[/tex]
Taki kąt istnieje, ale nie jest to kąt wypukły, ponieważ
[tex]\dfrac{\sqrt3-2}{5} < 0[/tex]
Czyli jest to kąt wklęsły.
c)
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=2[/tex]
Stąd wnioskujemy, że dla tego samego kąta funkcja sinus i funkcja cosinus przyjmuje wartość 1. A taki kąt nie istnieje.
d)
[tex]\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\sqrt3[/tex]
Nie istnieje taki kąt, ponieważ √3 > 1, a iloczyn liczb z przedziału ⟨-1, 1⟩ jest w przedziale ⟨-1, 1⟩.
e)
[tex]\sin\alpha\cdot\cos\alpha=0\iff\sin\alpha=0\ \vee\ \cos\alpha=0[/tex]
Są to kąty: 0°, 90° i 180°.
f)
[tex]\text{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Mamy ujemny iloczyn. Stąd jedna z funkcji powinna przyjmować wartość ujemną, a druga dodatnią. Obie funkcje w pierwszej ćwiartce przyjmują wartości dodatnie, a w drugiej wartości ujemne. Czyli taki kąt wypukły nie istnieje.
