Odpowiedź:
[tex]$x=8 \vee x=\frac{1}{8}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Założenie:
[tex]x > 0 \wedge x \neq 1[/tex]
Aby podane liczby tworzyły ciąg geometryczny musi zachodzić następujący warunek:
[tex]$(\log_{x}36)^{2}=\frac{4}{3}\log_{8}6 \cdot (1+\log_{2}3)[/tex]
Na początek zauważmy, że:
[tex]$\log_{8}6=\frac{1}{3}\log_{2}6[/tex]
[tex]\log_{x}36=2\log_{x}6[/tex]
[tex]1+\log_{2}3=\log_{2}6[/tex]
Otrzymuje się:
[tex]$4\log_{x}^26=\frac{4}{9}\log_{2}6 \cdot \log_{2}6[/tex]
[tex]$\log_{x}^26=\frac{1}{9}\log_{2}^26[/tex]
[tex]$\log_{x}^26=\Big(\frac{1}{3}\log_{2}6\Big)^{2}[/tex]
[tex]$\log_{x}^26=\log_{2}^{2} \sqrt[3]{6}[/tex]
[tex]$|\log_{x}6|=\log_{2}\sqrt[3]{6} \iff \log_{x}6=\log_{2}\sqrt[3]{6} \vee \log_{x}6=-\log_{2}\sqrt[3]{6}[/tex]
Pierwsze równanie:
[tex]$\log_{x}6=\log_{2}\sqrt[3]{6} \iff x^{\log_{2}\sqrt[3]{6}}=6 \iff \log_{2}\sqrt[3]{6} \cdot \ln x=\ln 6[/tex]
[tex]$\ln x=\frac{\ln 6}{\log_{2}\sqrt[3]{6}} \iff x=e^{\frac{\ln 6}{\log_{2}\sqrt[3]{6}}}[/tex]
co po drobnych przekształceniach daje:
[tex]x=8 \in D[/tex]
Drugie równanie jest praktycznie takie samo, tyle że otrzymamy minus w potędze, tak więc w rezultacie otrzymamy:
[tex]$x=\frac{1}{8} \in D[/tex]
