Cześć!
[tex]9^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^{m-1}}\\\\9^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}} = (3^{m-1})^\frac{1}{4}\\\\(3^2)^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}}= (3^{m-1})^\frac{1}{4}\\\\\\3^{x^2-x-\frac{3}{2}} = 3^{\frac{1}{4}(m-1)}[/tex]
Wobec tego:
[tex]x^2-x-\frac{3}{2} = \frac{1}{4}m - \frac{1}{4}\\\\x^2-x-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}m=0[/tex]
[tex]\Delta = (-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-\frac{5}{4} - \frac{m}{4}) = 1-4\cdot (\frac{-5-m}{4}) = 1+5+m=m+6[/tex]
Zatem:
- Jeżeli [tex]\Delta > 0 \Longrightarrow m+6 > 0 \iff m > -6[/tex] - równanie ma dwa rozwiązania
- Jeżeli [tex]\Delta = 0 \Longrightarrow m+6=0 \iff m=-6[/tex] - równanie ma jedno rozwiązanie
- Jeżeli [tex]\Delta < 0 \Longrightarrow m+6 < 0 \iff m < -6[/tex] - równanie nie ma rozwiązań
Jeżeli równanie ma mieć rozwiązanie, to oznacza, że [tex]m\in \langle-6;+\infty)[/tex]
[tex]\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}=8 \iff \frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2} = 8 \iff \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = 8[/tex]
Na mocy wzorów Viete'a, jeżeli [tex]a = 1, b=-1, c=-\frac{5+m}{4}[/tex]:
[tex]\frac{(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \\\\\iff \frac{b^2-2ac}{c^2} = 8[/tex]
[tex]\frac{(-1)^2+\frac{5+m}{2}}{\frac{25+10m+m^2}{16}} = 8 \iff \frac{\frac{m+7}{2}}{\frac{25+10m+m^2}{16}}} = 8 \iff \frac{8m+56}{m^2+10m+25} = 8 \iff \\\\\iff 8m+56-8m^2-80m-200 = 0 \iff -8m^2-72m-144=0 \iff\\\\\iff m^2+9m+18=0[/tex]
Ze wzorów Viete'a zauważamy, że pierwiastkami są [tex]m \in \{-6;-3\}[/tex], będące też jedynymi wartościami, dla których spełniony jest warunek z przykładu b).
Pozdrawiam!
