Ciąg geometryczny.
Oblicz iloraz ciągu geometrycznego o podanych wyrazach początkowych. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu i oblicz a₇.
a) 128, 64, 32
b) 1/16, 1/4, 1.
Rozwiązania:
a)
[tex]a_1=128,\ a_2=64,\ a_3=32\\\\q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...\\\\q=\dfrac{64}{128}\\\\\huge\boxed{q=\dfrac{1}{2}}\\\\a_n=128\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=2^7\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-7}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\\\=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-7+n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-8}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-8}}[/tex]
[tex]a_7=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7-8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\\\\\huge\boxed{a_7=2}[/tex]
b)
[tex]a_1=\dfrac{1}{16},\ a_2=\dfrac{1}{4},\ a_3=1\\\\q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=...\\\\q=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{16}{1}\\\\\huge\boxed{q=4}[/tex]
[tex]a_n=\dfrac{1}{16}\cdot4^{n-1}=\dfrac{1}{4^2}\cdot4^{n-1}=\dfrac{4^{n-1}}{4^2}=4^{n-1-2}\\\\\huge\boxed{a_n=4^{n-3}}[/tex]
[tex]a_7=4^{7-3}=4^4\\\\\huge\boxed{a_7=256}[/tex]
Opis:
Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę różną od zera zwaną ilorazem ciągu.
Iloraz q obliczamy korzystając z:
[tex]q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}[/tex]
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]
Aby obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego mając wzór na wyraz ogólny ciągu, należy wstawić za n odpowiednia liczbę.
