Skoro mamy podany jeden z pierwiastków wielomianu trzeciego stopnia, to najbardziej bezpośrednią metodą wyznaczenia pozostałych jego pierwiastków jest podzielenie wielomianu przez x-a, i wyznaczenie pierwiastków uzyskanego trójmianu przy użyciu Delty.
Najłatwiejszym sposobem podzielenia wielomianu przez dwumian x-a jest schemat Hornera:
[tex]\underline{\qquad |\ 2\ |\ \ 6\ \,|\, {-}9\ |\, {-}4\, |}\\-4\ \,|\ 2\ |{-}2\ |\,{-}1\ |\ \ 0\,\ |[/tex]
{W górnej linii wpisujemy współczynniki wielomianu, w dolnej na początku pierwiastek wielomianu, w kolejnej kratce spisujemy współczynnik z górnej linii. Kolejne uzupełniamy mnożąc ostatnio spisany współczynnik przez pierwiastek i do wyniku dodając wartość z górnej linii: -4·2+6=-2; -4·(-2)-9=-1; -4·(-1)+(-4)=0. Otrzymane w dolnej linii liczby (oprócz pierwiastka) to współczynniki szukanego trójmianu}
Czyli:
[tex]w(x) =2x^3+6x^2-9x-4=(x+4)(2x^2-2x-1)\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\qquad \Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-1)=4+8=12\\{}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\qquad \sqrt\Delta=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{-(-2)+2\sqrt3}{2\cdot2}=\dfrac{2(1+\sqrt3)}{2\cdot2}=\dfrac{1+\sqrt3}{2}\\\\x_2=\dfrac{-(-2)-2\sqrt3}{2\cdot2}=\dfrac{2(1-\sqrt3)}{2\cdot2}=\dfrac{1-\sqrt3}{2}[/tex]
Zatem, pierwiastki wielomianu to:
[tex]\underline{\ \underline{\ \bold{x_1=\frac{1+\sqrt3}2\,,\quad x_2=\frac{1-\sqrt3}2\,,\quad x_3=-4}\ }\ }[/tex]
A rozkład na czynniki wygląda tak:
[tex]\underline{\ \underline{\ \bold{w(x)=2\left(x-\frac{1+\sqrt3}2\right)\left(x-\frac{1-\sqrt3}2\right)\big( x+4\big)}\,}\,}[/tex]
schemat Hornera:
[tex]\underline{\quad\ |\ 6\ |{-}19 \,|\ \ 1\ \,|\ \ 6\ |}\\{}\ 3\ \,|\ 6\ |\,{-}\,1\ |{-}2\ |\ \ 0\ |[/tex]
{3·6+(-19)=-1; 3·(-1)+1=-2; 3·(-2)+6=0}
Czyli:
[tex]w(x) =6x^3-19x^2+x+6=(x-3)(6x^2-x-2)\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\qquad \Delta=(-1)^2-4\cdot6\cdot(-2)=1+48=49\\{}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad\qquad \sqrt\Delta=\sqrt{49}=7[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{-(-1)+7}{2\cdot6}=\dfrac8{12}=\dfrac23\\\\x_2=\dfrac{-(-1)-7}{2\cdot6}=\dfrac{-6}{12}=-\dfrac12[/tex]
Zatem, pierwiastki wielomianu to:
[tex]\underline{\ \underline{\ \bold{x_1=\frac23\,,\quad x_2=-\frac12\,,\quad x_3=3}\ }\ }[/tex]
A rozkład na czynniki wygląda tak:
[tex]\underline{\ \underline{\ \bold{w(x)=6\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac12\right)\big( x-3\big)}\,}\,}[/tex]
