Geometria analityczna.
Wykaż, że czworokąt ABCD, gdzie:
a) A(-6,-2), B(4,2), C(2,7), D(-3,5), jest trapezem prostokątnym;
b) A(-1,-3), B (4,-3), C(0,5), D(-3,1), jest trapezem równoramiennym.
Zaczynamy od rysunków poglądowych.
Mamy wykazać, że czworokąt ABCD jest trapezem.
Wiemy, że trapez to czworokąt, który posiada parę boków równoległych.
Wystarczy więc pokazać, że proste zawierające dwa boki są równoległe.
Dwie proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B obliczamy ze wzoru:
[tex]a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
a)
Na początku wykażemy równoległość boków AB i CD.
[tex]a_{AB}=\dfrac{2-(-2)}{4-(-6)}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\\\\a_{CD}=\dfrac{5-7}{-3-2}=\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}\\\\\boxed{a_{AB}=a_{CD}}[/tex]
Czyli AB || CD. Wykazaliśmy, że ABCD jest trapezem.
Teraz mamy wykazać, że jest to trapez prostokątny.
Jeżeli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1.
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej BC:
[tex]a_{BC}=\dfrac{7-2}{2-4}=\dfrac{5}{-2}=-\dfrac{5}{2}[/tex]
Sprawdzamy:
[tex]a_{AB}\cdot a_{BC}=\dfrac{2}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-1\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]
b)
Podobnie jak w a), na początku wykazujemy, że ABCD jest trapezem.
[tex]a_{AD}=\dfrac{1-(-3)}{-3-(-1)}=\dfrac{4}{-2}=-2\\\\a_{BC}=\dfrac{5-(-3)}{0-4}=\dfrac{8}{-4}=-2[/tex]
Czyli AD || BC. Wykazaliśmy, że ABCD jest trapezem.
Teraz mamy wykazać, że jest to trapez równoramienny.
Obliczymy długości ramion korzystając ze wzoru:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Obliczamy:
[tex]|AB|=\sqrt{(4-(-1))^2+(-3-(-3))^2}=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{5^2}=5\\\\|CD|=\sqrt{(-3-0)^2+(1-5)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrT{25}=5\\\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]
