1.
Rozważane przedziały możemy rozumieć jako odcinki na osi OX. Szukane prawdopodobieństwo jest zatem stosunkiem długości tych odcinków. la przestrzeni Ω:
[tex]|\Omega|=10-(-10)=20[/tex]
Natomiast dla zdarzeń sprzyjających:
[tex]|A|=10-(-2)=12[/tex]
przy czym dla X>10 rozkład przyjmuje wartości zerowe, więc jest sens rozważać tylko przedział [-2:10] o długości 12:
[tex]p=\frac{12}{20}=0.6[/tex]
2.
Od razu można wykorzystać własność, że dla Y=aX+b, warość oczekiwana to:
[tex]E(Y)=aE(X)+b\\\sigma^2(Y)=a^2\sigma^2(X)[/tex]
zatem w naszym wypadku a=3, b=-1, E(X)=1/3 σ²(X)=1/3
[tex]E(Y)=3\cdot\frac{1}{3}-1=0\\\sigma^2(Y)=9\cdot\frac{1}{3}=3[/tex]
Na wszelki wypadek przeprowadzę dowód tych relacji.
Wychodząc z definicji wartości oczekiwanej:
[tex]E(X)=\sum{x_i\cdot p_i}\\E(Y=aX+b)=\sum{(ax_i+b)p_i}=a\sum{x_ip_i}+b\sum{p_i}=aE(X)+b[/tex]
gdzie wykorzystałem, że rozkład prawdopodobieństwa jest unormowany. Podobnie dla wariancji:
[tex]\sigma^2(X)=E(X^2)-E^2(X)\\\sigma^2(Y=aX+b)=E(a^2X^2+2abX+b^2)-E^2(aX+b)\\\sigma^2(Y)=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(aE(X)+b)^2\\\sigma^2(Y)=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-a^2E^2(X)-2abE(X)-b^2\\\sigma^2(Y)=a^2(E(X^2)-E^2(X))=a^2\sigma^2(X)[/tex]
co było do udowodnienia
pozdrawiam
