Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
n∈N
x∈Z
Wiemy że:
n² ≠ x²
Przyjmujemy liczbę wymierną [tex]\frac{p}{q}[/tex] gdzie p∧q∈Z, i q≠0.
Zakładamy że:
n² = [tex](\frac{p}{q})^2[/tex]
W sytuacji gdy p=q mamy:
n² = 1²
co jest sprzeczne z założeniami, gdyż 1∈Z, a n²≠x² dla każdego x∈Z.
W sytuacji gdy p=aq, dla pewnej stałej a∈Z, mamy:
n² = [tex](\frac{p}{q} )^2=(\frac{aq}{q} )^2=a^2[/tex]
co ponownie jest sprzeczne z założeniami, gdyż a∈Z, a n²≠x² dla każdego x∈Z.
Pozostaje więc sytuacja w której p≠q, i p nie jest wielokrotnością q, lub q=ap. W takich przypadkach nie są one przez siebie podzielne, przez co ich kwadrat nie będzie przez siebie podzielny. Zatem [tex]\frac{p^2}{q^2}[/tex]∈Q (zbiór liczb wymiernych).
Ponownie stoi to w sprzeczności z założeniami, gdyż n∈N, więc n² także należy do N.
Zatem w każdym przypaku n²≠[tex]\frac{p^2}{q^2}[/tex], co należało wykazać.