Odpowiedź:
[tex]$x \in \Bigg \langle \frac{-1-\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2}, \frac{-1+\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2}\Bigg \rangle[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x-1\leq 0[/tex]
Najpierw próbujemy rozłożyć wielomian po lewej stronie. Zauważmy, że:
[tex]x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x-1=x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x-1=[/tex][tex]$=x^{2}(x^{2}+2x+1)-2(x^{2}+x)-1=x^{2}(x+1)^{2}-2(x^{2}+x)-1=[/tex][tex]$=(x^{2}+x)^{2}-2(x^{2}+x)-1[/tex]
Teraz podstawmy [tex]u=x^{2}+x[/tex]. Rozwiązujemy równanie, aby znaleźć pierwiastki:
[tex]u^{2}-2u-1=0[/tex]
[tex]u^{2}-2u+1-2=0[/tex]
[tex](u-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}=0[/tex]
[tex](u-1-\sqrt{2} )(u-1+\sqrt{2} )=0[/tex]
[tex]u=\sqrt{2}+1 \vee u=1-\sqrt{2}[/tex]
Wracamy do oryginalnych zmiennych:
[tex]x^{2}+x=\sqrt{2}+1 \vee x^{2}+x=1-\sqrt{2}[/tex]
[tex]x^{2}+x-\sqrt{2}-1 =0 \vee x^{2}+x+\sqrt{2}-1=0[/tex]
Widzimy, że drugie równanie nie ma rozwiązań, bo [tex]\Delta < 0[/tex]. Ponadto [tex]x^{2}+x+\sqrt{2}-1 > 0[/tex] dla [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]. To oznacza, że tak naprawdę wyjściowa nierówność jest równoważna nierówności (zwykle dzielenie przez zawsze dodatni czynnik, który nie wpływa na znak):
[tex]$x^{2}+x-\sqrt{2}-1 \leq 0[/tex]
Dalej mamy:
[tex]$\Delta=1 + 4(\sqrt{2}+1)=4\sqrt{2} +5[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{-1-\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2} \vee x_{2}=\frac{-1+\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2}[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:
[tex]$x \in \Bigg \langle \frac{-1-\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2}, \frac{-1+\sqrt{4\sqrt{2}+5} }{2}\Bigg \rangle[/tex]
