Cześć!
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{{n \choose 2}}{n^2+3n-1} =[/tex]
Zgodnie z definicją symbolu Newtona, prawdziwa jest równość [tex]{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex], gdzie [tex]n!, k![/tex] to wyrażenia pod symbolem silni. Zgodnie z definicją silni:
[tex]n! = $\left\{\begin{array}{rcl}0!&=&1\\1!&=&1\\n!&=&1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \end{array} \right.$[/tex]
Wówczas wzór ciągu [tex]a_n = \frac{{n \choose 2}}{n^2+3n-1}[/tex] można zapisać jako: [tex]a_n = \frac{{n \choose 2}}{n^2+3n-1} = \frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{n^2+3n-1} = \frac{\frac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n}{2(n-2)!}}{n^2+3n-1} = \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2+3n-1} = \frac{n^2-n}{2n^2+6n-2}[/tex]
Wówczas:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n}{2n^2+6n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1-\frac{1}{n})}{n^2(2+\frac{6}{n}-\frac{2}{n^2})} = \frac{1}{2}[/tex]
Pozdrawiam!
