[tex]f(x)=3x^5-5x^3[/tex]
Liczymy pochodną funkcji, korzystając ze wzoru [tex](x^n)'=nx^{n-1}[/tex].
[tex]f'(x)=15x^4-15x^2[/tex]
Szukam miejsc zerowych pochodnej.
[tex]f'(x)=0\\15x^4-15x^2=0\ |:15\\x^4-x^2=0\\x^2(x^2-1)=0\\x^2(x-1)(x+1)=0\\x^2=0\vee x-1=0\vee x+1=0\\x=0\vee x=1\vee x=-1\\x\in\{-1,0,1\}[/tex]
Sprawdzam, dla jakich x pochodna przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.
[tex]f'(x) > 0\\15x^4-15x^2 > 0\\x^2(x-1)(x+1) > 0\\x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\\\f'(x) < 0\\15x^4-15x^2 < 0\\x^2(x-1)(x+1) < 0\\x\in(-1,0)\cup(0,1)\\[/tex]
Funkcja jest rosnąca tam, gdzie pochodna jest dodatnia, a malejąca tam, gdzie pochodna jest ujemna. Zatem
[tex]f\nearrow\text{w przedzia\l ach} (-\infty,-1)\text{ i }( 1,+\infty)\\f\searrow\text{w przedzia\l ach} (-1,0)\text{ i }(0,1)[/tex]
Dla [tex]x=-1[/tex] pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc funkcja osiąga maksimum lokalne w [tex]x=-1[/tex] równe
[tex]f_{max}=f(-1)=3*(-1)^5-5*(-1)^3=3*(-1)-5*(-1)=-3+5=2[/tex]
Dla [tex]x=1[/tex] pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc funkcja osiąga minimum lokalne w [tex]x=1[/tex] równe
[tex]f_{min}=f(1)=3*1^5-5*1^3=3*1-5*1=3-5=-2[/tex]
Dla [tex]x=0[/tex] pochodna nie zmienia znaku, więc nie ma ekstremum w [tex]x=0[/tex].
Uwaga:
Ponieważ w [tex]x=0[/tex] funkcja nie osiąga ekstremum, to przedziały, w których funkcja jest malejąca, można połączyć w jeden przedział. Zatem
[tex]f\searrow\text{w przedziale } (-1,1)[/tex]
