[tex]x\frac{dy}{dx}+y-x=0[/tex]
Najpierw rozwiązuję równanie jednorodne:
[tex]x\frac{dy}{dx}+y=0\\\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\\ln{y}=-\ln{x}+\ln{C}\\y=\frac{C}{x}[/tex]
Teraz uzmienniam stałą:
[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dC}{dx}-\frac{C}{x^2}\\x(\frac{1}{x}\frac{dC}{dx}-\frac{C}{x^2})+\frac{C}{x}-x=0\\\frac{dC}{dx}-x=0\\dC=xdx\\C=\frac{1}{2}x^2+D\\y=\frac{D}{x}+\frac{1}{2}x[/tex]
Drugi sposób rozwiązania polega na tym, że wprowadzam funkcję:
[tex]a=a(x)=\frac{y}{x}\\y=a\cdot x\\\frac{dy}{dx}=a+x\frac{da}{dx}[/tex]
Nasze równanie zapisane za pomocą nowej funkcji:
[tex]x(a+x\frac{da}{dx})+ax-x=0[/tex]
Można podzielić przez x stronami, pamiętając, że x≠0. W przeciwnym razie mamy trywialne równanie y=0
[tex]x\frac{da}{dx}+2a-1=0\\x\frac{da}{dx}=1-2a\\\frac{da}{1-2a}=\frac{dx}{x}[/tex]
całkują obustronnie:
[tex]-\frac{1}{2}\ln{(1-2a)}=\ln{x}+\ln{C}\\\ln(1-2a)=-2\ln{(Cx)}\\1-2a=\frac{1}{C^2x^2}\\2a=1-\frac{1}{C^2x^2}\\a=\frac{1}{2}+\frac{D}{x^2},\ \textrm{gdzie}\ D=-\frac{1}{C^2}\\y=ax=\frac{x}{2}+\frac{D}{x}[/tex]
pozdrawiam
