Odpowiedź:
[tex]m\in\left(-\infty,-10\frac{1}{2}\right > \cup\left < -5\frac{1}{2},+\infty\right)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=2x-m-5\\g(x)=-4x+5m+37[/tex]
Znajdźmy punkt przecięcia wykresów powyższych funkcji liniowych wyrażony za pomocą parametru m. W tym celu rozwiążmy układ równań.
[tex]\left \{ {{y=2x-m-5} \atop {y=-4x+5m+37}} \right. \\\left \{ {{y=2x-m-5} \atop {2x-m-5=-4x+5m+37}} \right. \\\left \{ {{y=2x-m-5} \atop {6x=6m+42\ |:6}} \right. \\\left \{ {{y=2x-m-5} \atop {x=m+7}} \right. \\\left \{ {{y=2(m+7)-m-5} \atop {x=m+7}} \right. \\\left \{ {{y=2m+14-m-5} \atop {x=m+7}} \right. \\\left \{ {{y=m+9} \atop {x=m+7}} \right.[/tex]
Zatem szukany punkt przecięcia ma postać:
[tex](x,y)=(m+7,m+9)[/tex]
Podstawmy współrzędne tego punktu do warunku, który ten punkt ma spełnić.
[tex]|y-2|+|x+2|\geq 5\\|m+9-2|+|m+7+2|\geq 5\\|m+7|+|m+9|\geq 5\\[/tex]
Policzmy wartości m, które zerują poszczególne wartości bezwzględne.
[tex]m+7=0\qquad m+9=0\\m=-7\qquad\ \ \ m=-9[/tex]
Rozpatrzmy 3 przypadki.
Przypadek 1.
[tex]m\in(-\infty,-9)\\-m-7-m-9\geq 5\\-2m\geq 21\ |:(-2)\\m\leq -10\frac{1}{2}[/tex]
Ostatecznie w tym przypadku:
[tex]m\in\left(-\infty,-10\frac{1}{2}\right >[/tex]
Przypadek 2.
[tex]m\in\left < -9,-7\right)\\-m-7+m+9\geq 5\\2\geq 5[/tex]
W tym przypadku mamy sprzeczność, więc brak rozwiązań.
Przypadek 3.
[tex]m\in\left < -7,+\infty\right)\\m+7+m+9\geq 5\\2m\geq -11\ |:2\\m\geq -5\frac{1}{2}[/tex]
Ostatecznie w tym przypadku:
[tex]m\in\left < -5\frac{1}{2},-\infty\right)[/tex]
Po zsumowaniu wszystkich trzech przypadków otrzymujemy ostateczną odpowiedź:
[tex]m\in\left(-\infty,-10\frac{1}{2}\right > \cup\left < -5\frac{1}{2},+\infty\right)[/tex]