Dla jakich wartości parametru m równanie: x2+(m-1)x+4=0 ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 4?
.Cześć!
[tex]x^2+(m-1)x+4=0[/tex]
Skoro mają być dwa pierwiastki, to [tex]\Delta > 0[/tex].
[tex]\Delta = (m-1)^2-4\cdot1\cdot 4=m^2-2m+1-16=m^2-2m-15\\\\\Delta > 0 \iff m^2-2m-15 > 0 \iff m \in (-\infty; -3) \ \cup \ (5;+\infty)[/tex]
Pierwiastki mają być mniejsze od 4, więc [tex]x_1 < 4 \ \wedge \ x_2 < 4 \Longrightarrow x_1-4 < 0 \ \wedge \ x_2-4 < 0[/tex]
Dla dwóch liczb ujemnych:
Zatem:
[tex]\left \{ {{x_1-4+x_2-4 < 0 } \atop {(x_1-4)(x_2-4) > 0}} \right. \\\\\left \{ {{x_1+x_2-8 < 0} \atop {x_1x_2-4x_1-4x_2+16 > 0}} \right.[/tex]
Korzystając ze wzorów Vieta:
[tex]x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-m+1}{1} = -m+1\\\\x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1}=4[/tex]
Zatem zajmując się pierwszą nierównością:
[tex]x_1+x_2-8 < 0\\\\-m+1-8 < 0\\\\-m-7 < 0\\\\m > -7[/tex]
Natomiast dla drugiej:
[tex]x_1x_2-4(x_1+x_2)+16 > 0\\\\4-4(-m+1)+16 > 0\\\\4+4m-4+16 > 0\\\\4m > -16\\\\m > -4[/tex]
Częścią wspólną tych dwóch rozwiązań jest przedział [tex]m \in (-4;+\infty)[/tex]
Uzgadniając z pierwszym założeniem:
[tex]\left \{ {{m \in (-\infty; -3) \ \cup \ (5;+\infty)} \atop {m \in (-4;+\infty)}} \right. \Longrightarrow m \in (-4;-3) \ \cup \ (5;+\infty)[/tex]
Pozdrawiam!
