Rozwiązane

Dane są trójkąty prostokątne T1 i T2. Uzasadnij że jeśli stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie T1 równa się stosunkowi długości przyprostokątnych w trójkącie T2 to trójkąty są podobne.

Odpowiedź :

Animaldkviz

Planimetria. Podobieństwo trójkątów prostokątnych.

Figury podobne, są to figury, które różnią się tylko wielkością.

Wielokąty są podobne, gdy spełniają dwa warunki:

  1. Odpowiadające kąty są tej samej miary (wielokąty mają ten sam kształt).
  2. Długości odpowiadających sobie boków tworzą proporcję (stosunek odpowiadających boków jest stały).

Cechy podobieństwa trójkątów:

  • Bok-Bok-Bok (BBB) - jeżeli stosunek długości odpowiadających sobie boków jest taki sam, to trójkąty są podobne;
  • Bok-Kąt-Bok (BKB) - jeżeli stosunek długości dwóch boków jest taki sam oraz kąty zawarte między nimi są tej samej miary, to trójkąty są podobne;
  • Kąt-Kąt-Kąt (KKK) - jeżeli kąty jednego trójkąta mają takie same miary jak kąty drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne.

W zadaniu mamy dwa trójkąty prostokątne T₁ i T₂. Mamy uzasadnić, że jeżeli stosunek długości przyprostokątnych T₁ jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych T₂, to trójkąty są podobne.

Przyjmijmy długości przyprostokątnych

  • w trójkącie T₁: a i b, gdzie a ≤ b;
  • w trójkącie T₂: c i d, gdzie c ≤ d.

Wówczas:

[tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}[/tex]

mnożymy na krzyż

[tex]ad=bc\qquad|:c\neq0\\\\\dfrac{ad}{c}=b\qquad|:d\neq0\\\\\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}[/tex]

Otrzymujemy, że stosunek długości odpowiadających sobie boków jest taki sam.

Między przyprostokątnymi jednego i drugiego trójkąta mamy kąt prosty.

Stąd na podstawie cechy podobieństwa trójkątów BKB otrzymujemy,
że T₁ i T₂ są trójkątami podobnymi. Co zapisujemy symbolicznie

[tex]T_1\ \sim\ T_2\\\\\blacksquare[/tex]