8.
Okręgi styczne zewnętrznie mają ze sobą jeden punkt wspólny.
[tex]r_1 + r_2 = 15[/tex]
gdzie:
r₁ - promień jednego okręgu
r₂ - promień drugiego okręgu
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]P_1 = 4P_2\\\\P_1 = \pi r_1^{2}}\\P_2 = \pi r_2^{2}}\\\\\frac{P_2}{P_1}=\frac{\pi r_2^{2}}{\pi r_1^{2}} = 4\\\\\frac{r_2^{2}}{r_1^{2}} = 4 \ \ |()\sqrt{}\\\\\frac{r_2}{r_1} = 2\\\\r_2 = 2r_1\\\\r_1 + 2r_1 = 15\\\\3r_1 = 15 \ \ |:3\\\\\boxed{r_1 = 5}[/tex]
[tex]\boxed{r_2 = 2\cdot 5 = 10}[/tex]
Odp. Promienie tych okręgów to: 5 i 10.
9.
Pole trójkąta równobocznego o boku długości a możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\\oraz\\P = 64\sqrt{3} \ cm^{2}\\\\\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3} \ \ \ |\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}\\\\a^{2} = 246\\\\a = \sqrt{256}\\\\\underline{a = 16 \ cm}[/tex]
Wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = \underline{8\sqrt{3} \ cm}[/tex]
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:
[tex]R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}\cdot8\sqrt{3}}=\underline{\frac{16\sqrt{3}}{3} \ cm}[/tex]
Pole koła opisanego na tym trójkącie równobocznym:
[tex]P = \pi R^{2} = \pi \cdot(\frac{16\sqrt{3}}{3})^{2} \ cm^{2}}=\frac{768\pi}{9} \ cm^{2}\\\\\boxed{P = \frac{256\pi}{3} \ cm^{2}}[/tex]
10.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\R = 6 \ cm, \ zatem\\\\\frac{a\sqrt{3}}{3} = 6 \ \ \ |\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = \underline{6\sqrt{3} \ cm}[/tex]
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\cdot3\\\\\boxed{h = 9 \ cm}[/tex]
Pole trójkąta równobocznego o boku a możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(6\sqrt{3})^{2}\cdot\sqrt{3}}{4} =\frac{36\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}\\\\\boxed{P = 27\sqrt{3} \ cm^{2}}[/tex]
Odp. Wysokość tego trójkąta h = 9 cm, zaś jego pole P = 27√3 cm².
