Znajdź ekstrema funkcji [tex]f(x,y)=x^{3} +xy-y^{2}+5x-11y+1[/tex]

Liczymy pochodne pierwszego rzędu.
Przyrównujemy pochodne do zera obliczając współrzędne punktów podejrzanych o ekstrema.
Liczymy pochodne drugiego rzędu.
Obliczamy wartości pochodnych drugiego rzędu dla punktów z 2.
Obliczamy wyznaczniki
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}f^{''}_{xx}&f^{''}_{xy}\\f^{''}_{yx}&f^{''}_{yy}\end{array}\right|[/tex]
dla każdego punktu z podpunktu 2.
Określamy, w których punktach funkcja osiąga ekstremum.
Określamy rodzaje ekstremum i obliczamy ich wartości.

1. Pochodne pierwszego rzędu.

[tex]\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2+y+5\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=x-2y-11[/tex]

[tex]f'_x(x,\ y)=3x^2+y+5\\\\f'_y(x,\ y)=-2y+x-11[/tex]

2. Przyrównujemy pochodne do zera obliczając współrzędne punktów podejrzanych o ekstrema.

[tex]f'_x(x,\ y)=0\Rightarrow3x^2+y+5=0\\\\f'_y(x,\ y)=0\Rightarrow -2y+x-11=0[/tex]

Otrzymujemy układ równań:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3x^2+y+5=0\\-2y+x-11=0\end{array}\right[/tex]

Rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3x^2+y+5=0&|\cdot2\\-2y+x-11=0\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}6x^2+2y+10=0\\-2y+x-11=0\end{array}\right}\\.\qquad6x^2+x-1=0[/tex]

Otrzymujemy równanie kwadratowe.

[tex]6x^2+x-1=0\\a=6,\ b=1,\ c=-1\\\\\Delta=1^2-4\cdot6\cdot(-1)=1+24=25\\\sqrt\Delta=\sqrt{25}=5\\\\x_1=\dfrac{-1-5}{2\cdot6}=\dfrac{-6}{12}\\\\x_1=-\dfrac{1}{2}\\\\x_2=\dfrac{-1+5}{2\cdot6}=\dfrac{4}{12}\\\\x_2=\dfrac{1}{3}[/tex]

Obliczamy wartości y podstawiając wartości x do równania drugiego:

Na początku przekształcimy równanie:

[tex]-2y+x-11=0\qquad|+2y\\2y=x-11\qquad|:2\\\\y=\dfrac{x-11}{2}[/tex]

[tex]y_1=\dfrac{-\frac{1}{2}-11}{2}=\dfrac{-11\frac{1}{2}}{2}=-\dfrac{23}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\y_1=-\dfrac{23}{4}\\\\y_2=\dfrac{\frac{1}{3}-11}{2}=\dfrac{-10\frac{2}{3}}{2}=-\dfrac{32}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\y_2=-\dfrac{16}{3}[/tex]

[tex]P_1\left(-\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{23}{4}\right),\ P_2\left(\dfrac{1}{3},\ -\dfrac{16}{3}\right)[/tex]

3. Liczymy pochodne drugiego rzędu.

[tex]\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6x\\\\\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2\\\\\dfrac{\partial ^2f}{\partial xy}=1\\\\\dfrac{\partial^2 f}{\partial yx}=1[/tex]

[tex]f^{''}_{xx}=6x,\ f^{''}_{yy}=-2,\ f^{''}_{xy}=f^{''}_{yx}=1[/tex]

4. Obliczamy wartości pochodnych drugiego rzędu dla punktów z 2.

[tex]f^{''}_{xx}(P_1)=6\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-3\\\\f^{''}_{yy}(P_1)=-2\\\\f^{''}_{xy}(P_1)=f^{''}_{yx}(P_1)=1\\\\\\f^{''}_{xx}(P_2)=6\cdot\dfrac{1}{3}=2\\\\f^{''}_{yy}(P_1)=-2\\\\f^{''}_{xy}(P_1)=f^{''}_{yx}(P_1)=1[/tex]

5. Obliczamy wyznaczniki.

[tex]W_{P_1}=\left|\begin{array}{ccc}2&1\\1&-2\end{array}\right|=(-3)\cdot(-2)-1\cdot1=6-1=5\\\\W_{P_2}=\left|\begin{array}{ccc}-3&1\\1&-2\end{array}\right|=2\cdot(-2)-1\cdot1=-4-1=-5[/tex]

6. Określamy, w których punktach funkcja osiąga ekstremum.

Jeżeli [tex]W_{P} > 0[/tex] to wtedy w punkcie P funkcja osiąga ekstremum.
Jeżeli [tex]W_{P} < 0[/tex] to wtedy w punkcie P funkcja nie osiąga ekstremum.
Jeżeli [tex]W_{P} = 0[/tex] to wtedy nie wiadomo czy w punkcie P funkcja osiąga ekstremum.

[tex]W_{P_1}=5 > 0[/tex] funkcja f(x, y) osiąga ekstremum w punkcie P₁.

[tex]W_{P_2}=-5 < 0[/tex] funkcja f(x, y) nie osiąga ekstremum w punkcie P₂.

7. Określamy rodzaje ekstremum i obliczamy ich wartości.

Jeżeli [tex]f^{''}_{xx}(P) > 0[/tex] to wtedy w punkcie P funkcja ma minimum.
Jeżeli [tex]f^{''}_{xx}(P) < 0[/tex] to wtedy w punkcie P funkcja ma maksimum.

W naszym przypadku

[tex]f^{''}_{xx}\left(P_1)=-2 < 0[/tex]

Zatem funkcja przyjmuje tu maksimum.

Funkcja f(x, y) osiąga maksimum w punkcie [tex]\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{23}{4}\right)[/tex]

Podstawiając do wzoru funkcji wartości x i y otrzymujemy wartość maksymalną wynoszącą 503/16.