Rozwiązanie:
[tex]\bold{(a)}}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\cos x \ dxdy[/tex]
[tex]-\pi x\leq y\leq \pi x -x^{2}[/tex]
Obszar całkowania w załączniku.
Wyznaczenie granic:
[tex]-\pi x= \pi x -x^{2}[/tex]
[tex]-x^{2}+2\pi x=0\\[/tex]
[tex]-x(x-2\pi)=0[/tex]
[tex]x=0 \vee x = 2\pi[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\cos x \ dxdy=\int\limits^{2\pi}_{0} \Bigg(\int \limits^{\pi x-x^{2}}_{-\pi x} \cos x \ dy\Bigg)dx=\int\limits^{2\pi}_{0}\cos x(\pi x-x^{2}+\pi x) \ dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2\pi}_{0} \cos x(-x^{2} + 2\pi x) \ dx=\int\limits^{2\pi}_{0}\Big(-x^{2} \cos x+2\pi x\cos x\Big) \ dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2\pi}_{0}-x^{2}\cos x \ dx+2\pi \int\limits^{2\pi}_{0} x \cos x \ dx = I_{1}+I_{2}[/tex]
Policzmy najpierw całki nieoznaczone:
[tex]$\int -x^{2}\cos x \ dx=\left|\begin{array}{ccc}f=-x^{2}&dg=\cos x \ dx\\df=-2x \ dx&g=\sin x\end{array}\right|=-x^{2}\sin x+2\int x \sin x\ dx=[/tex]
[tex]$=\left|\begin{array}{ccc}f=x&dg=\sin x \ dx\\df=dx&g=-\cos x\end{array}\right|=-x^{2}\sin x+2\Bigg(-x\cos x+\int \cos x \ dx\Bigg)=[/tex]
[tex]$=-x^{2}\sin x-2x \cos x+2\sin x + C[/tex]
[tex]$\int x \cos x \ dx =\left|\begin{array}{ccc}f=x&dg=\cos x \ dx\\df=dx&g=\sin x\end{array}\right| = x\sin x-\int \sin x \ dx=[/tex]
[tex]$=x\sin x+\cos x + C[/tex]
Zatem:
[tex]$I_{1}=-x^{2}\sin x-2x \cos x+2\sin x\Bigg|^{2\pi}_{0}=-4\pi[/tex]
[tex]I_{2}=2\pi \Big( x\sin x+\cos x\Big)\Bigg|^{2\pi}_{0}=2\pi-2\pi = 0[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\cos x \ dxdy=-4\pi[/tex]
[tex]\bold{(b)}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D}x(x^{2}+y^{2})dxdy[/tex]
[tex]$x^{2}+y^{2}+4x\leq 0 \iff (x+2)^{2}+y^{2}\leq 4[/tex]
Obszar w załączniku.
Współrzędne biegunowe:
[tex]$\left \{ {{x=r\cos \varphi} \atop {y=r\sin \varphi}} \right.[/tex]
[tex]J(r, \varphi)=r[/tex]
Z rysunku łatwo odczytać zmianę kąta:
[tex]$\frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{3\pi}{2}[/tex]
Zmianę promienia obliczamy przy użyciu nierówności:
[tex]$r^{2} \cos^{2}\varphi +r^{2}\sin^{2} \varphi +4r \cos \varphi\leq 0[/tex]
[tex]$r^{2}+4r \cos \varphi\leq 0[/tex]
Wiemy, że [tex]r\geq 0[/tex], a więc:
[tex]r+4\cos \varphi\leq 0[/tex]
[tex]r\leq -4\cos \varphi[/tex]
Ostatecznie:
[tex]0\leq r\leq -4\cos \varphi[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}x(x^{2}+y^{2})dxdy=\int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} \Bigg(\int \limits^{-4\cos \varphi}_{0}r\cos \varphi(r^{2} \cos^{2} \varphi+r^{2}\sin^{2} \varphi) \cdot r \ dr \Bigg) d \varphi=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\Bigg(\int \limits^{-4\cos \varphi}_{0} r^{4} \cos \varphi \ dr\Bigg) \ d \varphi=\int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} \Bigg[\frac{r^{5}}{5}\Bigg]\Bigg|^{-4\cos \varphi}_{0} \cos \varphi \ d \varphi=[/tex]
[tex]$=-\frac{1024}{5} \int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} \cos^{6}\varphi \ d\varphi[/tex]
Tej całki już nie rozpisuję, ale łatwo można ją obliczyć stosując formułę redukcyjną (kilkukrotnie):
[tex]$\int \cos^{n}x \ dx=\frac{\sin x \cos^{n-1} x }{n}+\frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}x \ dx[/tex]
Ostatecznie otrzymamy:
[tex]$-\frac{1024}{5} \int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}} \cos^{6}\varphi \ d\varphi=-\frac{1024}{5} \cdot \frac{5\pi}{16} =-64\pi[/tex]
