Rozwiązanie:
Szereg:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)x^{2n}=\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(x^{2n+1})'=\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'[/tex]
Teraz łatwo znaleźć sumę - mamy tutaj szereg geometryczny o pierwszym wyrazie [tex]x[/tex] i ilorazie [tex]-x^{2}[/tex] :
[tex]$\Bigg(\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}x^{2n+1}\Bigg)'=\Big( \frac{x}{1+x^{2}}\Big)'=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex]
Przedział zbieżności:
Zaczynamy od promienia zbieżności, który znajdziemy z warunku zbieżności szeregu geometrycznego:
[tex]|-x^{2}| < 1 \iff |x^{2}| < 1 \iff |x|^{2} < 1 \iff|x| < 1 \Rightarrow R=1[/tex]
Teraz musimy jeszcze sprawdzić brzegi:
Dla [tex]x=-1[/tex] :
[tex]$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)(-1)^{2n}= \sum^{\infty}_{n=0} (-1)^{n}(2n+1)[/tex]
Ten szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, nawet nie liczę tej prostej granicy.
Dla [tex]x=1[/tex] sytuacja jest taka sama, szereg jest rozbieżny.
Ostatecznie przedziałem zbieżności jest:
[tex]I=(-1,1)[/tex]
Teraz mamy obliczyć sumę:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n} = -1 +\frac{3}{4}+ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}[/tex]
Sumę szeregu z prawej strony obliczymy, korzystając z wcześniej wyprowadzonego wzoru, wystarczy, że za [tex]x[/tex] podstawimy [tex]$\frac{1}{2}[/tex] :
[tex]$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=\frac{1-(\frac{1}{2})^{2}}{(1+(\frac{1}{2})^{2})^{2}}=\frac{12}{25}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=2} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{4^n}=-1+\frac{3}{4} +\frac{12}{25}=\frac{23}{100}[/tex]
