Kingaviz
Rozwiązane

Zadanie 5
Podaj punkty przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych. Zapisz wzór funkcji f w postaciach iloczynowej i kanonicznej oraz naszkicuj jej wykres.
f(x) = x² - 4x + 3

Proszę o jakieś wyjaśnienie :)

Odpowiedź :

Animaldkviz

Odpowiedź:

Postać iloczynowa: f(x) = (x - 3)(x - 1)

Postać kanoniczna: f(x) = (x - 2)² - 1

Punkty przecięcia z osiami:

OX: x = 1, x = 3

OY: y = 3

Szczegółowe wyjaśnienie:

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

f(x) = ax² + bx + c

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

x₁, x₂ - miejsca zerowe funkcji

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f(x) = a(x - p)² + q

(p, q) - wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f(x)

p = -b/2a

q = f(p) = -Δ/4a

Δ = b² - 4ac

Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej potrzeba nam:

  1. Współrzędne wierzchołka paraboli.
  2. Miejsca zerowe funkcji.
  3. Miejsce przecięcia wykresu z osią OY.
  4. Oś symetrii paraboli.

Mamy funkcję:

f(x) = x² - 4x + 3

a = 1, b = -4, c = 3

Zaczniemy od obliczenia miejsc zerowych funkcji.

Miejsce zerowe funkcji jest to argument (x), dla którego wartość funkcji (y = f(x)) wynosi 0.

f(x) = 0 ⇔ x² - 4x + 3 = 0

x² - 3x - x + 3 = 0

x(x - 3) - 1(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 1) = 0 ⇔ x - 3 = 0 ∨ x - 1 = 0

x = 3 ∨ x = 1

Mamy postać iloczynową:

f(x) = 1(x - 3)(x - 1)

f(x) = (x - 3)(x - 1)

Znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli:

p = -(-4)/(2 · 1)

p = 2

q = f(p) ⇒ q = f(2)

q = 2² - 4 · 2 + 3

q = -1

Postać kanoniczna:

f(x) = 1(x - 2)² - 1

f(x) = (x - 2)² - 1

Miejsce przecięcia z osią OY:

f(0) = 0² - 4 · 0 + 3

f(0) = 3

Oś symetrii paraboli odpowiada p:

x = 2

Zobacz obrazek Animaldk
Djpancernikfotkviz

1. Postać ogólna funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]

2. Punkt przecięcie z osią [tex]y[/tex] jest dla [tex]x=0[/tex]:

[tex]f(0)=0^2-4\cdot0+3=0-0+3=3[/tex]

Punkt przecięcia z osią [tex]y[/tex], to [tex]A=(0,3)[/tex].

3. Punkty przecięcie z osią [tex]x[/tex] jest dla [tex]y=0[/tex]:

[tex]0=x^2-4x+3[/tex]

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

[tex]\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta}=2[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{-(-4)-2}{2\cdot1}=\dfrac{4-2}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]

[tex]x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]

[tex]x_2=\dfrac{-(-4)+2}{2\cdot1}=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3[/tex]

Punkty przecięcia z osią [tex]x[/tex], to [tex]B=(1,0)[/tex] i [tex]C=(3,0)[/tex].

4. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

[tex]f(x)=1(x-1)(x-3)[/tex]

[tex]f(x)=(x-1)(x-3)[/tex]

5. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]

[tex]p=\dfrac{-b}{2a}[/tex]

[tex]p=\dfrac{-(-4)}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2[/tex]

[tex]q=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]

[tex]q=\dfrac{-4}{4\cdot1}=\dfrac{-4}{4}=-1[/tex]

[tex]f(x)=1(x-2)^2+(-1)[/tex]

[tex]f(x)=(x-2)^2-1[/tex]

6. Wykres narysowany przy pomocy punktów [tex]A,B,C,W[/tex].

[tex]W=(p,q)[/tex]

[tex]W=(2,-1)[/tex]

Zobacz obrazek Djpancernikfotk

Viz Inne Pytanie