Paryloolga2viz
Rozwiązane

Ćwiczenie 7 Wykaż, że suma n początkowych liczb nieparzystych jest równa n²: 1+3+5+...+(2n-1) = n² 1 = 1² 1+3=2² 1+3+5=3² 1+3+5+7=4² 1+3+5+7+9=5² Ćwiczenie 7 Wykaż , że suma n początkowych liczb nieparzystych jest równa n² : 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1 ) = n² 1 = 1² 1 + 3 = 2² 1 + 3 + 5 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 4² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²​

Odpowiedź :

Animaldkviz

Odpowiedź + Szczegółowe wyjaśnienie:

Kolejne liczby nieparzyste tworzą ciąg arytmetyczny, w którym

a₁ = 1, r = 2

Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

Sₙ = (2a₁ + (n - 1)r)/2 · n

Podstawiamy:

Sₙ = (2 · 1 + (n - 1) · 2)/2 · n

Sₙ = (2 + 2n - 2)/2 · n

Sₙ = 2n/2 · n

Sₙ = n · n

Sₙ = n²

■

Kkrzysiaviz

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ćwiczenie 7

Wykaż, że suma n początkowych liczb nieparzystych jest równa n²: 1+3+5+...+(2n-1) = n²

[tex]a_{1} =1[/tex]          [tex]a_{2} =3[/tex]  

[tex]r=a_{2} -a_{1} =3-1=2[/tex]

[tex]r=2[/tex]

[tex]a_{n} =2n-1[/tex]    ← n-ty wyraz ciągu

Kolejne liczby nieparzyste - to ciąg arytmetyczny o różnicy 2.

Obliczamy sumę n początkowych liczb nieparzystych, korzystając ze wzoru na sumę początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: [tex]S_{n} =\frac{a_{1}+a_{n} }{2}*n[/tex] .

[tex]S_{n} =\frac{a_{1}+a_{n} }{2}*n=\frac{1+ 2n-1}{2}*n=\frac{2n}{2} *n=n*n=n^{2}[/tex]

Suma n początkowych liczb nieparzystych jest równa n²,

co mieliśmy wykazać.

Viz Inne Pytanie