Odpowiedź:
α ∈ ( 45°, 90°)
sin α + cos α = [tex]\frac{5}{4}[/tex] Podnosimy obustronnie do kwadratu
sin²α +2 sinα*cosα + cos²α = [tex]\frac{25}{16}[/tex] ale sin²α + cos²α = 1,
więc
2 sinα*cosα = [tex]\frac{25}{16} - \frac{16}{16} = \frac{9}{16}[/tex]
b) cos α - sin α = x podnosimy obustronnie do potęgi 2
cos²α - 2 sin α*cos α + sin² α = x²
1 - 2 sin α*cosα = x²
Za 2 sinα*cosα wstawiamy [tex]\frac{9}{16}[/tex]
Otrzymujemy
x² = 1 - [tex]\frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}[/tex]
zatem
x = [tex]\sqrt{\frac{7}{16} } = \frac{\sqrt{7} }{4}[/tex] lub x = - [tex]\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]
cos α - sin α = - [tex]\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex] bo cos α < sin α dla α ∈ ( 45°, 90°)
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c ) sin² α - cos² α = ?
( sin α + cos α)*(sin α - cos α) = sin² α - cos² α
więc
sin² α - cos² α = [tex]\frac{5}{4} *[/tex] ( - ( - [tex]\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]))] = [tex]\frac{5\sqrt{7} }{16}[/tex]
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bo sin α > cos α dla α ∈ ( 45°, 90°)
d)
ctg α - tg α = [tex]\frac{cos \alpha }{sin \alpha } - \frac{sin \alpha }{cos \alpha }[/tex] = [tex]\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha }{sin\alpha *cos\alpha }[/tex] = [tex]\frac{-5\sqrt{7} }{16} : \frac{9}{32}[/tex] = - [tex]\frac{10\sqrt{7} }{9}[/tex]
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Szczegółowe wyjaśnienie:
