Staczająca się kulka ma dwa stopnie swobody i dla każdego z nich należy napisać stosowne dynamiczne równanie ruchu.
Dla translacji:
[tex]ma=mg\sin\alpha-T[/tex]
gdzie pierwszy składnik po prawej stronie to tzw. siłą zsuwająca, natomiast T - siła tarcia
Dla rotacji:
[tex]I\epsilon=Tr[/tex]
Jeżeli kulka stacza się bez poślizgu:
[tex]\epsilon=a/r[/tex]
co pozwala mi napisać:
[tex]I\frac{a}{r^2}=T[/tex]
oraz wstawić tak wyznaczoną siłę tarcia do równania dla ruchu postępowego:
[tex]ma=mg\sin\alpha-\frac{Ia}{r^2}\\a(m+\frac{I}{r^2})=mg\sin\alpha\\a=\frac{mg\sin\alpha}{m+I/r^2}\\\epsilon=\frac{mg\sin\alpha}{mr+I/r}[/tex]
dla kuli:
[tex]I=\frac{2}{5}mr^2\\a=\frac{mg\sin\alpha}{m+\frac{2}{5}m}=\frac{5}{7}g\sin\alpha\\\epsilon=\frac{5}{7}\frac{g\sin\alpha}{r}[/tex]
po podstawieniu danych:
[tex]a=\frac{5}{7}\cdot9.81m/s^2\cdot0.5\approx3.5m/s^2\\\epsilon=35\,rad/s^2[/tex]
pozdrawiam
