Po pierwsze trzeba zrozumieć jak wygląda zbiór [tex]A[/tex]. Wystarczy narysować kółko o promieniu [tex]2[/tex] i drugi warunek, a następnie wyznaczyć punkty kratowe. Te punkty kratowe zaznaczę na rysunku. Punktów kratowych w [tex]A[/tex] okazuje się być [tex]8[/tex] więc jest [tex]\binom{8}{2}=28[/tex] par (różnych) punktów w przestrzeni [tex]\Omega[/tex]. Parą tym przyporządkowujemy odległość pomiędzy punktami. Tu przyda się rysunek który pokazuje, że mamy [tex]8[/tex] par punktów odległych o [tex]\sqrt{2}[/tex]. Innymi słowy [tex]8[/tex] elementów [tex]\Omega[/tex] przechodzi na [tex]\sqrt{2}[/tex] pod działaniem zmiennej losowej [tex]X[/tex]. Resztę rozkładu widać na rysunku. Warto zauważyć, że [tex]8+6+9+4+1=28[/tex] więc nie zapomniałem raczej o żadnej parze. Więc rozkład wygląda następująco:
[tex]\mathbb{P} (X=\sqrt{2} )= 8/28 \\ \\ \mathbb{P} (X=\sqrt{5} )= 6/28 \\ \\\mathbb{P} (X=1 )= 9/28 \\ \\\mathbb{P} (X=2 )= 4/28 \\ \\\mathbb{P} (X=3 )= 1/28[/tex]
A mając rozkład wartość oczekiwaną można wyznaczyć licząc
[tex]\mathbb{E}X=\sqrt{2} \times \frac{8}{28} + \sqrt{5} \times \frac{6}{28} + 1 \times \frac{9}{28} + 2 \times \frac{4}{28} + 3 \times \frac{1}{28}.[/tex]
No i wariancję ze wzoru
[tex]\text{Var} X = \mathbb{E}X^2- (\mathbb{E}X)^2[/tex]
czyli
[tex]\text{Var} X =\sqrt{2}^2 \times \frac{8}{28} + \sqrt{5}^2 \times \frac{6}{28} + 1^2 \times \frac{9}{28} + 2^2 \times \frac{4}{28} + 3^2 \times \frac{1}{28} \\ \\ \phantom{aaaaaaa} - (\sqrt{2} \times \frac{8}{28} + \sqrt{5} \times \frac{6}{28} + 1 \times \frac{9}{28} + 2 \times \frac{4}{28} + 3 \times \frac{1}{28})^2.[/tex]
PS obliczanie tych ułamków to już inna sprawa...
