Odpowiedź:
[tex]S=\{(x_S,y_S):(y_S=-\frac{1}{4}x^2_S+x_S\ \vee\ y_S=\frac{1}{4}x^2_S-x_S)\land x\in(0,4)\}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy dany okrąg [tex](x-2)^2+y^2=4[/tex] o środku [tex]P=(2,0)[/tex] i promieniu [tex]r=2[/tex] oraz prostą [tex]y=0[/tex]. Szukamy okręgów stycznych wewnętrznie do danego okręgu i do danej prostej.
Oznaczmy środki szukanych okręgów jako [tex]S=(x_S,y_S)[/tex].
Skoro okręgi mają być styczne do prostej [tex]y=0[/tex], to promień musi mieć długość [tex]|y_S|[/tex], przy czym [tex]y_S\in(0,2)[/tex].
Skoro okręgi mają być styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami musi być równa różnicy długości promieni. Zatem
[tex]|PS|}=2-|y_S|\\\sqrt{(x_S-2)^2+(y_S-0)^2}=2-|y_S|\\\sqrt{x^2_S-4x_S+4+y^2_S}=2-|y_S|\ |^2\\x^2_S-4x_S+4+y^2_S=4-4|y_S|+y^2_S\\x^2_S-4x_S=-4|y_S|\ |:(-4)\\|y_S|=-\frac{1}{4}x^2_S+x_S\\y_S=-\frac{1}{4}x^2_S+x_S\ \vee\ y_S=\frac{1}{4}x^2_S-x_S[/tex]
Dziedziną tych równości jest przedział [tex]D=(0,4)[/tex].
Ogólnie zbiór środków wszystkich szukanych okręgów można zapisać jako:
[tex]S=\{(x_S,y_S):(y_S=-\frac{1}{4}x^2_S+x_S\ \vee\ y_S=\frac{1}{4}x^2_S-x_S)\land x_S\in(0,4)\}[/tex]
