Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r²
(a, b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Jeżeli okrąg jest styczny z osią OX w punkcie B(3, 0), to oznacza, że odcięta (x) środka okręgu wynosi 3.
Odcinek AB jest cięciwą okręgu. Wiemy, że symetralna cięciwy okręgu przechodzi przez jego środek.
Możemy w ten sposób wyznaczyć prostą, na której leży środek okręgu.
Znajdujemy środek cięciwy AB korzystając ze wzoru:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
podstawiamy
[tex]A(7,\ 8),\ B(3,\ 0)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{7+3}{2},\ \dfrac{8+0}{2}\right)\to S_{AB}\left(\dfrac{10}{2},\ \dfrac{8}{2}\right)\to S_{AB}(5,\ 4)[/tex]
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB korzystając ze wzoru:
[tex]a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
podstawiamy
[tex]a=\dfrac{0-8}{3-7}=\dfrac{-8}{-4}=2[/tex]
Symetralna odcinka jest prostopadła do odcinka. Obliczamy współczynnik kierunkowy symetralnej wiedząc, że iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi -1:
2 · a = -1 |:2
Mamy początkową postać równania symetralnej:
y = -1/2x + b
Symetralna przechodzi przez środek odcinka. Podstawiamy współrzędne środka odcinka AB:
4 = -1/2 · 5 + b
4 = -2,5 + b |+2,5
Ostatecznie mamy:
Podstawiamy pierwszą współrzędną środka okręgu:
x = 3
y = -0,5 · 3 + 6,5
y = -1,5 + 6,5
Mamy środek okręgu:
Promień odpowiada rzędnej (y) środka okręgu. Czyli
Ostatecznie mamy równanie okręgu:
