Odpowiedź:
[tex]-128[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\frac{x^4-2x^3-2x^2-4}{x-3}[/tex]
Zapiszmy to wyrażenie w prostszej postaci. W tym celu wykonajmy dzielenie metodą Hornera.
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}&1&-2&-2&0&-4\\3&1&1&1&3&5\end{tabular}[/tex]
Zatem
[tex]\frac{x^4-2x^3-2x^2-4}{x-3}=x^3+x^2+x+3+\frac{5}{x-3}[/tex]
Dla liczb całkowitych wyrażenie [tex]x^3+x^2+x+3[/tex] jest całkowite. Wystarczy sprawdzić, kiedy całkowity będzie ułamek [tex]\frac{5}{x-3}[/tex].
Aby ten ułamek był całkowity, w mianowniku muszą być tylko dzielniki całkowite liczby 5, czyli liczby -1, 1, -5 lub 5. Zatem
[tex]x-3=-1\ \vee\ x-3=1\ \vee\ x-3=-5\ \vee\ x-3=5\\x=2\ \vee\ x=4\ \vee\ x=-2\ \vee\ x=8\\x\in\{-2,2,4,8\}[/tex]
Zatem szukany iloczyn to
[tex]-2*2*4*8=-128[/tex]
